Bài tập nâng cao · Bài 49
5. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp về PT cơ bản hoặc các PT thường thặp ( PT cơ bản, PT thuần nhất đối với 1 hàm số lượng giác, đẳng cấp, đối xứng, bậc nhất đối với $\sin x, \cos x$ thì các bài toán sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa về PT dạng tích là các bài toán thường xuyên xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh gần đây Một số điểm chú ý - Các biểu thức $1+\sin 2x$; $\cos 2x$; $1+\tan x$; $1+\cot x$; $\sin^{3} x+\cos^{3} x$; $\cos^{4} x-\sin^{4} x$; $\cos 3x-\sin 3x$; $\tan x-\cot x$; $\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$ thường có nhân tử chung là: $\sin x+\cos x$. - Các biểu thức $1-\sin 2x$; $\cos 2x$; $1-\tan x$; $1-\cot x$; $\cos^{3} x-\sin^{3} x$; $\cos^{4} x-\sin^{4} x$; $\cos 3x-\sin 3x$; $\tan x-\cot x$; $\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} \right)$ thường có nhân tử chung là: $\sin x-\cos x$. - Các biểu thức $\sin^{3} x$; $\sin^{2} x$; $\tan^{2} x$ thường có nhân tử chung là $1-\cos x$ hoặc $1+\cos x$. - Các biểu thức $\cos^{3} x$; $\cos^{2} x$; $\cot^{2} x$ thường có nhân tử chung là $1-\sin x$ hoặc $1-\sin x$.
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 49
a) $\sin^{2}3x-\cos^{2}4x=\sin^{2}5x-\cos^{2}6x$.
b) $1+\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0$.
c) $\cos 2x-\cos 8x+\cos 6x=1$.
d) $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=\cos x+\cos 2x+\cos 3x$.
Xem lời giải
Lời giải
$\Leftrightarrow \left( \sin 3x-\sin 5x \right)\left( \sin 3x+\sin 5x \right)=\left( \cos 4x-\cos 6x \right)\left( \cos 4x+\cos 6x \right)$
$\Leftrightarrow 2\cos 4x.\sin\left( -x \right).2\sin 4x.\cos x=-2\sin 5x.\sin\left( -x \right).2\cos 5x.\cos x$
$\Leftrightarrow -\sin 8x.\sin 2x=\sin 10x.\sin 2x$ $\Leftrightarrow \sin 2x\left( \sin 10x+\sin 8x \right)=0$
$\Leftrightarrow 2\sin 2x.\sin 9x.\cos x=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x=0 \\ \sin 9x=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\frac{\pi}{2} \\ x=k\frac{\pi}{9} \end{array} \right.,\ \left( k \in \mathbb{Z} \right)$
b) $1+\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0$ $1+\cos x+\cos 2x+\cos\left( 2x+x \right)=0$
$\Leftrightarrow 1+\cos x+\cos 2x+\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x=0$ $\Leftrightarrow 1+\cos x+\cos 2x\left( 1+\cos x \right)-2\left( 1-\cos^{2}x \right)\cos x=0$
$\Leftrightarrow \left( 1+\cos x \right)\left( 1+\cos 2x-2\left( 1-\cos x \right)\cos x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( 1+\cos x \right)\left( 1+\cos 2x-2\cos x+2\cos^{2}x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( 1+\cos x \right)2\cos x\left( 2\cos x-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=0 \\ \cos x=-1 \\ \cos x=\frac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ x=\pi+k2\pi \\ \cos x=\cos\frac{\pi}{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ x=\pi+k2\pi \\ x=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi \end{array} \right.,\ \left( k \in \mathbb{Z} \right)$
c) $\cos 2x-\cos 8x+\cos 6x=1$ $\Leftrightarrow \cos 6x-\cos 8x=1-\cos 2x$
$\Leftrightarrow -2\sin\left( -x \right)\sin 7x=1-\cos 2x$ $\Leftrightarrow \sin x.\sin 7x=\sin^{2}x$ $\Leftrightarrow \sin x.\left( \sin 7x-\sin x \right)=0$
$\Leftrightarrow \sin x.\left( 2\cos 4x\sin 3x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=0 \\ \sin 3x=0 \\ \cos 4x=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\pi \\ x=k\frac{\pi}{3} \\ x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4} \end{array} \right.,\ \left( k \in \mathbb{Z} \right)$
d) $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=\cos x+\cos 2x+\cos 3x$
$\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x-2\cos x\cos 2x+\sin 2x-\cos 2x=0$
$\Leftrightarrow \left( 2\cos x+1 \right)\left( \sin 2x-\cos 2x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=-\frac{1}{2} \\ \sin 2x-\cos 2x=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\pm\frac{2\pi}{3}+k2\pi \\ \sin\left( 2x-\frac{\pi}{4} \right)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\pm\frac{2\pi}{3}+k2\pi \\ x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2} \end{array} \right.,\ \left( k \in \mathbb{Z} \right)$