Bài tập nâng cao · Bài 46
4. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Nhận dạng: $a\left( \sin x\pm \cos x \right)+b\sin x\cos x=c$. Cách làm: Đặt $t=\sin x+\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^{2} -1}{2}$. Điều kiện $\left| t \right|\leq \sqrt{2}$. $t=\sin x-\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{1-t^{2}}{2}$. Điều kiện $\left| t \right|\leq \sqrt{2}$.
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 46
Giải các phương trình sau:
a. $\tan x-\sqrt{3}\cot x-\sin x+\sqrt{3}\cos x+1-\sqrt{3}=0\ \left( 3 \right)$.
b. $\cos^{4}\frac{x}{2}-\sin^{4}\frac{x}{2}=\sin 2x\ \left( 1 \right)$.
a. $\tan x-\sqrt{3}\cot x-\sin x+\sqrt{3}\cos x+1-\sqrt{3}=0\ \left( 3 \right)$.
b. $\cos^{4}\frac{x}{2}-\sin^{4}\frac{x}{2}=\sin 2x\ \left( 1 \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
a. $\tan x-\sqrt{3}\cot x-\sin x+\sqrt{3}\cos x+1-\sqrt{3}=0\ \left( 3 \right)$.
+ Điều kiện: $x\neq k\frac{\pi}{2}\ \left( k\in\mathbb{Z} \right)$.
+ $\left( 3 \right)\Leftrightarrow \tan x-\sin x-\sqrt{3}\left( \cot x-\cos x \right)+1-\sqrt{3}=0$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\cos x}\left( \sin x-\sin x\cos x+\cos x \right)-\frac{\sqrt{3}}{\sin x}\left( \sin x-\sin x\cos x+\cos x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( \frac{1}{\cos x}-\frac{\sqrt{3}}{\sin x} \right)\left( \sin x-\sin x\cos x+\cos x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{1}{\cos x}-\frac{\sqrt{3}}{\sin x}=0\ \left( 4 \right) \\ \sin x-\sin x\cos x+\cos x=0\ \left( 5 \right) \end{array} \right.$
+ Giải $\left( 4 \right)\Leftrightarrow \tan x=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+k\pi \ \left( k\in\mathbb{Z} \right)$.
+ Giải $\left( 5 \right)$: Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos\left( \frac{\pi}{4}-x \right),\ \left( -\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2} \right)\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^{2}-1}{2}$.
PT $\Leftrightarrow t-\frac{\left( t^{2}-1 \right)}{2}=0\Leftrightarrow t^{2}-2t-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=1-\sqrt{2}\left( tm \right) \\ t=1+\sqrt{2}\ \left( l \right) \end{array} \right.$.
$\Rightarrow \sin x+\cos x=1-\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{2}\cos\left( \frac{\pi}{4}-x \right)=1-\sqrt{2}\Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi}{4}-x \right)=\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\cos\alpha$.
$\Leftrightarrow \frac{\pi}{4}-x=\pm\alpha +l2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}\pm\alpha +l2\pi \ \left( l\in\mathbb{Z} \right)$.
Các nghiệm của phương trình $\left( 4 \right)$ và $\left( 5 \right)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
b. $\cos^{4}\frac{x}{2}-\sin^{4}\frac{x}{2}=\sin 2x\ \left( 1 \right)$.
Ta có: $\cos^{4}\frac{x}{2}-\sin^{4}\frac{x}{2}=\left( \cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2} \right)\left( \cos^{2}\frac{x}{2}+\sin^{2}\frac{x}{2} \right)=\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2}=\cos x$
Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có dạng: $\cos x=\sin 2x\Leftrightarrow \cos x=2\sin x\cos x\Leftrightarrow \cos x\left( 1-2\sin x \right)=0$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=\frac{1}{2} \\ \cos x=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \end{array} \right.\ \left( k\in\mathbb{Z} \right)$.
+ Điều kiện: $x\neq k\frac{\pi}{2}\ \left( k\in\mathbb{Z} \right)$.
+ $\left( 3 \right)\Leftrightarrow \tan x-\sin x-\sqrt{3}\left( \cot x-\cos x \right)+1-\sqrt{3}=0$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\cos x}\left( \sin x-\sin x\cos x+\cos x \right)-\frac{\sqrt{3}}{\sin x}\left( \sin x-\sin x\cos x+\cos x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( \frac{1}{\cos x}-\frac{\sqrt{3}}{\sin x} \right)\left( \sin x-\sin x\cos x+\cos x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{1}{\cos x}-\frac{\sqrt{3}}{\sin x}=0\ \left( 4 \right) \\ \sin x-\sin x\cos x+\cos x=0\ \left( 5 \right) \end{array} \right.$
+ Giải $\left( 4 \right)\Leftrightarrow \tan x=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+k\pi \ \left( k\in\mathbb{Z} \right)$.
+ Giải $\left( 5 \right)$: Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos\left( \frac{\pi}{4}-x \right),\ \left( -\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2} \right)\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^{2}-1}{2}$.
PT $\Leftrightarrow t-\frac{\left( t^{2}-1 \right)}{2}=0\Leftrightarrow t^{2}-2t-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=1-\sqrt{2}\left( tm \right) \\ t=1+\sqrt{2}\ \left( l \right) \end{array} \right.$.
$\Rightarrow \sin x+\cos x=1-\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{2}\cos\left( \frac{\pi}{4}-x \right)=1-\sqrt{2}\Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi}{4}-x \right)=\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\cos\alpha$.
$\Leftrightarrow \frac{\pi}{4}-x=\pm\alpha +l2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}\pm\alpha +l2\pi \ \left( l\in\mathbb{Z} \right)$.
Các nghiệm của phương trình $\left( 4 \right)$ và $\left( 5 \right)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
b. $\cos^{4}\frac{x}{2}-\sin^{4}\frac{x}{2}=\sin 2x\ \left( 1 \right)$.
Ta có: $\cos^{4}\frac{x}{2}-\sin^{4}\frac{x}{2}=\left( \cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2} \right)\left( \cos^{2}\frac{x}{2}+\sin^{2}\frac{x}{2} \right)=\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2}=\cos x$
Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có dạng: $\cos x=\sin 2x\Leftrightarrow \cos x=2\sin x\cos x\Leftrightarrow \cos x\left( 1-2\sin x \right)=0$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=\frac{1}{2} \\ \cos x=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \end{array} \right.\ \left( k\in\mathbb{Z} \right)$.