Bài tập nâng cao · Bài 45
4. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Nhận dạng: $a\left( \sin x\pm \cos x \right)+b\sin x\cos x=c$. Cách làm: Đặt $t=\sin x+\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^{2} -1}{2}$. Điều kiện $\left| t \right|\leq \sqrt{2}$. $t=\sin x-\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{1-t^{2}}{2}$. Điều kiện $\left| t \right|\leq \sqrt{2}$.
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 45
Giải các phương trình sau:
a. $\sin x+\cos x-2\sin x\cos x+1=0\ \left( 1 \right)$.
b. $\tan x-3\cot x=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)\ \left( 2 \right)$.
a. $\sin x+\cos x-2\sin x\cos x+1=0\ \left( 1 \right)$.
b. $\tan x-3\cot x=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)\ \left( 2 \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
a. $\sin x+\cos x-2\sin x\cos x+1=0\ \left( 1 \right)$.
Đặt $t=\sin x+\cos x\ \left( -\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2} \right)\Rightarrow t^{2}=1+2\sin x\cos x\Rightarrow 2\sin x\cos x=t^{2}-1$.
PT $\Leftrightarrow t-\left( t^{2}-1 \right)+1=0\Leftrightarrow t^{2}-t-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-1\left( tm \right) \\ t=2\ \left( l \right) \end{array} \right.$.
$\Rightarrow \sin x+\cos x=-1\Leftrightarrow \sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\frac{-\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi}{4}=\pi +\frac{\pi}{4}+k2\pi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi \\ x=\pi +k2\pi \end{array} \right.$.
b. $\tan x-3\cot x=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)\ \left( 2 \right)$.
+ Điều kiện: $x\neq k\frac{\pi}{2}\ \left( k\in\mathbb{Z} \right)$.
+ Ta có $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \frac{1}{\sin x\cos x}\left( \sin^{2}x-3\cos^{2}x \right)=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)$
$\Leftrightarrow \left( \sin x-\sqrt{3}\cos x \right)\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)\sin x\cos x$
$\Leftrightarrow \left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)\left[ \left( \sin x-\sqrt{3}\cos x \right)-2\sin 2x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x+\sqrt{3}\cos x=0\ \left( 3 \right) \\ \sin x-\sqrt{3}\cos x-2\sin 2x=0\ \left( 4 \right) \end{array} \right.$
$\left( 3 \right)\Leftrightarrow \tan x=-\sqrt{3}\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{3}+k\pi \ \left( 5 \right)$
$\left( 4 \right)\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\sin 2x\Leftrightarrow \sin x\cos\frac{\pi}{3}-\cos x\sin\frac{\pi}{3}=\sin 2x$
$\Leftrightarrow \sin\left( x-\frac{\pi}{3} \right)=\sin 2x\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x=x-\frac{\pi}{3}+l2\pi \\ 2x=\pi -\left( x-\frac{\pi}{3} \right)+l2\pi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{3}+l2\pi \\ x=\frac{4\pi}{9}+l\frac{2\pi}{3} \end{array} \right.\ \left( l\in\mathbb{Z} \right)\ \left( 6 \right)$.
Các giá trị $x$ trong $\left( 5 \right)$ và $\left( 6 \right)$ đều thỏa mãn điều kiện của phương trình.
Đặt $t=\sin x+\cos x\ \left( -\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2} \right)\Rightarrow t^{2}=1+2\sin x\cos x\Rightarrow 2\sin x\cos x=t^{2}-1$.
PT $\Leftrightarrow t-\left( t^{2}-1 \right)+1=0\Leftrightarrow t^{2}-t-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-1\left( tm \right) \\ t=2\ \left( l \right) \end{array} \right.$.
$\Rightarrow \sin x+\cos x=-1\Leftrightarrow \sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\frac{-\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi}{4}=\pi +\frac{\pi}{4}+k2\pi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi \\ x=\pi +k2\pi \end{array} \right.$.
b. $\tan x-3\cot x=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)\ \left( 2 \right)$.
+ Điều kiện: $x\neq k\frac{\pi}{2}\ \left( k\in\mathbb{Z} \right)$.
+ Ta có $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \frac{1}{\sin x\cos x}\left( \sin^{2}x-3\cos^{2}x \right)=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)$
$\Leftrightarrow \left( \sin x-\sqrt{3}\cos x \right)\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)\sin x\cos x$
$\Leftrightarrow \left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)\left[ \left( \sin x-\sqrt{3}\cos x \right)-2\sin 2x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x+\sqrt{3}\cos x=0\ \left( 3 \right) \\ \sin x-\sqrt{3}\cos x-2\sin 2x=0\ \left( 4 \right) \end{array} \right.$
$\left( 3 \right)\Leftrightarrow \tan x=-\sqrt{3}\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{3}+k\pi \ \left( 5 \right)$
$\left( 4 \right)\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\sin 2x\Leftrightarrow \sin x\cos\frac{\pi}{3}-\cos x\sin\frac{\pi}{3}=\sin 2x$
$\Leftrightarrow \sin\left( x-\frac{\pi}{3} \right)=\sin 2x\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x=x-\frac{\pi}{3}+l2\pi \\ 2x=\pi -\left( x-\frac{\pi}{3} \right)+l2\pi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{3}+l2\pi \\ x=\frac{4\pi}{9}+l\frac{2\pi}{3} \end{array} \right.\ \left( l\in\mathbb{Z} \right)\ \left( 6 \right)$.
Các giá trị $x$ trong $\left( 5 \right)$ và $\left( 6 \right)$ đều thỏa mãn điều kiện của phương trình.