Bài tập nâng cao · Bài 43
4. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Nhận dạng: $a\left( \sin x\pm \cos x \right)+b\sin x\cos x=c$. Cách làm: Đặt $t=\sin x+\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^{2} -1}{2}$. Điều kiện $\left| t \right|\leq \sqrt{2}$. $t=\sin x-\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{1-t^{2}}{2}$. Điều kiện $\left| t \right|\leq \sqrt{2}$.
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 43
Giải các phương trình sau:
a. $\left| \sin x-\cos x \right|+4\sin 2x=1$.
b. $\left| \sin x+\cos x \right|+\sin x\cos x=1$.
a. $\left| \sin x-\cos x \right|+4\sin 2x=1$.
b. $\left| \sin x+\cos x \right|+\sin x\cos x=1$.
Xem lời giải
Lời giải
a. $\left| \sin x-\cos x \right|+4\sin 2x=1$.
Đặt $t=\left| \sin x-\cos x \right|\ \left( 0\leq t\leq \sqrt{2} \right)\Rightarrow t^{2}=1-\sin 2x\Rightarrow \sin 2x=1-t^{2}$.
PT $\Leftrightarrow t+4\left( 1-t^{2} \right)=1\Leftrightarrow -4t^{2}+t+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=1\ \left( tm \right) \\ t=-\frac{3}{4}\ \left( l \right) \end{array} \right.$.
$t=1\Leftrightarrow \left| \sin x-\cos x \right|=1\Leftrightarrow 1-2\sin x\cos x=1\Leftrightarrow \sin x\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{2}.$
b. $\left| \sin x+\cos x \right|+\sin x\cos x=1$.
Đặt $t=\left| \sin x+\cos x \right|\ \left( 0\leq t\leq \sqrt{2} \right)\Rightarrow t^{2}=1+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^{2}-1}{2}$.
PT (*) $\Leftrightarrow t+\frac{t^{2}-1}{2}=1\Leftrightarrow t^{2}+2t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=1 \\ t=-3\ \left( l \right) \end{array} \right.$.
$\Rightarrow \left| \sin x+\cos x \right|=1\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{2}\ \left( k\in\mathbb{Z} \right).$
Đặt $t=\left| \sin x-\cos x \right|\ \left( 0\leq t\leq \sqrt{2} \right)\Rightarrow t^{2}=1-\sin 2x\Rightarrow \sin 2x=1-t^{2}$.
PT $\Leftrightarrow t+4\left( 1-t^{2} \right)=1\Leftrightarrow -4t^{2}+t+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=1\ \left( tm \right) \\ t=-\frac{3}{4}\ \left( l \right) \end{array} \right.$.
$t=1\Leftrightarrow \left| \sin x-\cos x \right|=1\Leftrightarrow 1-2\sin x\cos x=1\Leftrightarrow \sin x\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{2}.$
b. $\left| \sin x+\cos x \right|+\sin x\cos x=1$.
Đặt $t=\left| \sin x+\cos x \right|\ \left( 0\leq t\leq \sqrt{2} \right)\Rightarrow t^{2}=1+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^{2}-1}{2}$.
PT (*) $\Leftrightarrow t+\frac{t^{2}-1}{2}=1\Leftrightarrow t^{2}+2t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=1 \\ t=-3\ \left( l \right) \end{array} \right.$.
$\Rightarrow \left| \sin x+\cos x \right|=1\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{2}\ \left( k\in\mathbb{Z} \right).$