Cho mệnh đề chứa biến $ P\left ( { n } \right ):\,\frac { 1 } { 1.2 }+\frac { 1 } { 2.3 }+\frac { 1 } { 3.4 }+...+\frac { 1 } { n.\left ( { n+1 } \right ) }=\frac { 13 } { 14 } $, $ n $ là số tự nhiên. Tìm $ n $ để $ P\left ( { n } \right ) $ là mệnh đề đúng.

Ta có : $ \,\frac { 1 } { 1.2 }+\frac { 1 } { 2.3 }+\frac { 1 } { 3.4 }+...+\frac { 1 } { n.\left ( { n+1 } \right ) }=\frac { 13 } { 14 } $ $ ⇔1-\frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { 3 }+\frac { 1 } { 3 }-\frac { 1 } { 4 }+...+\frac { 1 } { n }-\frac { 1 } { n+1 }=\frac { 13 } { 14 } $ $ ⇔1-\frac { 1 } { n+1 }=\frac { 13 } { 14 } ⇔\frac { 1 } { n+1 }=\frac { 1 } { 14 }⇔n+1=14⇔n=13 $.