Bài tập nâng cao · Bài 22
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 22
Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm.
a. $ax^{2}+bx+c=0$ với $a+2b+5c=0$.
b. $a\left( x-b \right)\left( x-c \right)+b\left( x-c \right)\left( x-a \right)+c\left( x-a \right)\left( x-b \right)=0$ ( với a,b,c là các số dương)
a. $ax^{2}+bx+c=0$ với $a+2b+5c=0$.
b. $a\left( x-b \right)\left( x-c \right)+b\left( x-c \right)\left( x-a \right)+c\left( x-a \right)\left( x-b \right)=0$ ( với a,b,c là các số dương)
Xem lời giải
Lời giải
a. Hàm số $f\left( x \right)=ax^{2}+bx+c$ liên tục với mọi x thuộc $\mathbb{R}$.
$f\left( 0 \right)=c;f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c$
$\Rightarrow f\left( 0 \right)+4f\left( \frac{1}{2} \right)=c+a+2b+4c=a+2b+5c=0$
Nếu $f\left( 0 \right)=0$ hoặc $f\left( \frac{1}{2} \right)=0$ thì PT đã cho có nghiệm.
Nếu $f\left( 0 \right)\neq 0$ hoặc $f\left( \frac{1}{2} \right)\neq 0$ thì từ $f\left( 0 \right)+4f\left( \frac{1}{2} \right)=0\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( \frac{1}{2} \right) < 0$
$\Rightarrow$ PT đã cho có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\frac{1}{2} \right)$.
$\Rightarrow$ PT luôn có nghiệm.
b. Không giảm tổng quát ta xét $0 < a < b < c$.
Hàm số $f\left( x \right)=a\left( x-b \right)\left( x-c \right)+b\left( x-c \right)\left( x-a \right)+c\left( x-a \right)\left( x-b \right)$
Khi đó ta có:
$\begin{array}{l} f\left( a \right)=a\left( a-b \right)\left( a-c \right)>0 \\ f\left( b \right)=b\left( b-a \right)\left( b-c \right)\leq 0 \\ \Rightarrow f\left( a \right)f\left( b \right)\leq 0\Rightarrow \exists x_0 \in \left[ a;b \right]:f\left( x_0 \right)=0 \end{array}$
$\Rightarrow$ PT đã cho có nghiệm thuộc khoảng $\left( a;b \right)$.
$\Rightarrow$ PT luôn có nghiệm.
$f\left( 0 \right)=c;f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c$
$\Rightarrow f\left( 0 \right)+4f\left( \frac{1}{2} \right)=c+a+2b+4c=a+2b+5c=0$
Nếu $f\left( 0 \right)=0$ hoặc $f\left( \frac{1}{2} \right)=0$ thì PT đã cho có nghiệm.
Nếu $f\left( 0 \right)\neq 0$ hoặc $f\left( \frac{1}{2} \right)\neq 0$ thì từ $f\left( 0 \right)+4f\left( \frac{1}{2} \right)=0\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( \frac{1}{2} \right) < 0$
$\Rightarrow$ PT đã cho có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\frac{1}{2} \right)$.
$\Rightarrow$ PT luôn có nghiệm.
b. Không giảm tổng quát ta xét $0 < a < b < c$.
Hàm số $f\left( x \right)=a\left( x-b \right)\left( x-c \right)+b\left( x-c \right)\left( x-a \right)+c\left( x-a \right)\left( x-b \right)$
Khi đó ta có:
$\begin{array}{l} f\left( a \right)=a\left( a-b \right)\left( a-c \right)>0 \\ f\left( b \right)=b\left( b-a \right)\left( b-c \right)\leq 0 \\ \Rightarrow f\left( a \right)f\left( b \right)\leq 0\Rightarrow \exists x_0 \in \left[ a;b \right]:f\left( x_0 \right)=0 \end{array}$
$\Rightarrow$ PT đã cho có nghiệm thuộc khoảng $\left( a;b \right)$.
$\Rightarrow$ PT luôn có nghiệm.