Bài tập nâng cao · Bài 21
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 21
Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m.
a. $m\left( x^{2}-9 \right)+x\left( x-5 \right)=0$
b. $x^{4}+mx^{2}-2mx-2=0$
a. $m\left( x^{2}-9 \right)+x\left( x-5 \right)=0$
b. $x^{4}+mx^{2}-2mx-2=0$
Xem lời giải
Lời giải
a. Hàm số $f\left( x \right)=m\left( x^{2}-9 \right)+x\left( x-5 \right)$ liên tục với mọi x,m thuộc $\mathbb{R}$.
$f\left( 3 \right)=-6;f\left( -3 \right)=24$
$\Rightarrow f\left( -3 \right).f\left( 3 \right) < 0\Rightarrow \exists x_0 \in \left( -3;3 \right)\left| f\left( x_0 \right) \right.=0$
Như vậy phương trình $f\left( x \right)=0$ tồn tại ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng $\left( -3;3 \right)$
$\Rightarrow$ Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b. Hàm số $f\left( x \right)=x^{4}+mx^{2}-2mx-2$ liên tục với mọi x,m thuộc $\mathbb{R}$.
$f\left( 0 \right)=-2;f\left( 2 \right)=14$
$\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 2 \right) < 0\Rightarrow \exists x_0 \in \left( 0;2 \right)\left| f\left( x_0 \right) \right.=0$
Như vậy phương trình $f\left( x \right)=0$ tồn tại ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng $\left( 0;2 \right)$
$\Rightarrow$ Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
$f\left( 3 \right)=-6;f\left( -3 \right)=24$
$\Rightarrow f\left( -3 \right).f\left( 3 \right) < 0\Rightarrow \exists x_0 \in \left( -3;3 \right)\left| f\left( x_0 \right) \right.=0$
Như vậy phương trình $f\left( x \right)=0$ tồn tại ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng $\left( -3;3 \right)$
$\Rightarrow$ Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b. Hàm số $f\left( x \right)=x^{4}+mx^{2}-2mx-2$ liên tục với mọi x,m thuộc $\mathbb{R}$.
$f\left( 0 \right)=-2;f\left( 2 \right)=14$
$\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 2 \right) < 0\Rightarrow \exists x_0 \in \left( 0;2 \right)\left| f\left( x_0 \right) \right.=0$
Như vậy phương trình $f\left( x \right)=0$ tồn tại ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng $\left( 0;2 \right)$
$\Rightarrow$ Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.