Bài tập nâng cao · Bài 20
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 20
Cho 3 số $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $5a+4b+6c=0$. Chứng minh phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ luôn có nghiệm.
Xem lời giải
Lời giải
Xét hàm số $f\left( x \right)=ax^{2}+bx+c$.
+ Hàm số $f\left( x \right)=ax^{2}+bx+c$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
+ Ta có $f\left( 0 \right)=c$, $f\left( 2 \right)=4a+2b+c$, $f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c$
Do đó $f\left( 0 \right)+4f\left( \frac{1}{2} \right)+f\left( 2 \right)=5a+4b+6c=0$
Suy ra tồn tại hai giá trị $p$, $q$ sao cho $f\left( p \right).f\left( q \right)\leq 0$.
Vậy phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ luôn có nghiệm.
+ Hàm số $f\left( x \right)=ax^{2}+bx+c$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
+ Ta có $f\left( 0 \right)=c$, $f\left( 2 \right)=4a+2b+c$, $f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c$
Do đó $f\left( 0 \right)+4f\left( \frac{1}{2} \right)+f\left( 2 \right)=5a+4b+6c=0$
Suy ra tồn tại hai giá trị $p$, $q$ sao cho $f\left( p \right).f\left( q \right)\leq 0$.
Vậy phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ luôn có nghiệm.