Bài tập nâng cao · Bài 19
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 19
Cho 3 số $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $12a+15b+20c=0$. Chứng minh phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ luôn có nghiệm thuộc $\left[ 0;\frac{4}{5} \right]$.
Xem lời giải
Lời giải
Xét hàm số $f\left( x \right)=ax^{2}+bx+c$.
+ Hàm số $f\left( x \right)=ax^{2}+bx+c$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
+ Ta có $f\left( \frac{4}{5} \right)=\frac{16}{25}a+\frac{4}{5}b+c$ nên $\frac{75}{4}f\left( \frac{4}{5} \right)=12a+15b+\frac{75}{4}c$.
$f\left( 0 \right)=c$ nên $\frac{5}{4}f\left( 0 \right)=\frac{5}{4}c$.
Do đó $\frac{75}{4}f\left( \frac{4}{5} \right)+\frac{5}{4}f\left( 0 \right)=12a+15b+20c=0$.
Suy ra $f\left( \frac{4}{5} \right)$, $f\left( 0 \right)$ trái dấu hoặc cả hai đều bằng 0.
Vậy phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ luôn có nghiệm thuộc $\left[ 0;\frac{4}{5} \right]$.
+ Hàm số $f\left( x \right)=ax^{2}+bx+c$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
+ Ta có $f\left( \frac{4}{5} \right)=\frac{16}{25}a+\frac{4}{5}b+c$ nên $\frac{75}{4}f\left( \frac{4}{5} \right)=12a+15b+\frac{75}{4}c$.
$f\left( 0 \right)=c$ nên $\frac{5}{4}f\left( 0 \right)=\frac{5}{4}c$.
Do đó $\frac{75}{4}f\left( \frac{4}{5} \right)+\frac{5}{4}f\left( 0 \right)=12a+15b+20c=0$.
Suy ra $f\left( \frac{4}{5} \right)$, $f\left( 0 \right)$ trái dấu hoặc cả hai đều bằng 0.
Vậy phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ luôn có nghiệm thuộc $\left[ 0;\frac{4}{5} \right]$.