Bài tập nâng cao · Bài 18
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 18
Chứng minh rằng phương trình $\left( m^{2}+1 \right)x^{3}-2m^{2}x^{2}-4x+m^{2}+1=0$ luôn có 3 nghiệm.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $f\left( x \right)=\left( m^{2}+1 \right)x^{3}-2m^{2}x^{2}-4x+m^{2}+1$.
+ Hàm số $f\left( x \right)=\left( m^{2}+1 \right)x^{3}-2m^{2}x^{2}-4x+m^{2}+1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
+ Ta có: $f\left( x \right)=m^{2}\left( x^{3}-2x^{2}+1 \right)+x^{3}-4x+1$
$f\left( -3 \right)=-44m^{2}-14 < 0;\,\,\forall m$
$f\left( 0 \right)=m^{2}+1>0,\forall m\,$
$f\left( 1 \right)=-2$
$f\left( 2 \right)=m^{2}+1>0\,;\,\,\forall m$
Vì $f\left( -3 \right).\,f\left( 0 \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -3;0 \right)$.
Vì $f\left( 0 \right).\,f\left( 1 \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$.
Vì $f\left( 1 \right).\,f\left( 2 \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( 1;2 \right)$.
Vậy phương trình $\left( m^{2}+1 \right)x^{3}-2m^{2}x^{2}-4x+m^{2}+1=0$ có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng $\left( -3;2 \right)$, mà phương trình đã cho là bậc 3 nên phương trình có đúng 3 nghiệm.
+ Hàm số $f\left( x \right)=\left( m^{2}+1 \right)x^{3}-2m^{2}x^{2}-4x+m^{2}+1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
+ Ta có: $f\left( x \right)=m^{2}\left( x^{3}-2x^{2}+1 \right)+x^{3}-4x+1$
$f\left( -3 \right)=-44m^{2}-14 < 0;\,\,\forall m$
$f\left( 0 \right)=m^{2}+1>0,\forall m\,$
$f\left( 1 \right)=-2$
$f\left( 2 \right)=m^{2}+1>0\,;\,\,\forall m$
Vì $f\left( -3 \right).\,f\left( 0 \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -3;0 \right)$.
Vì $f\left( 0 \right).\,f\left( 1 \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$.
Vì $f\left( 1 \right).\,f\left( 2 \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( 1;2 \right)$.
Vậy phương trình $\left( m^{2}+1 \right)x^{3}-2m^{2}x^{2}-4x+m^{2}+1=0$ có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng $\left( -3;2 \right)$, mà phương trình đã cho là bậc 3 nên phương trình có đúng 3 nghiệm.