Bài tập nâng cao · Bài 17
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 17
Chứng minh rằng phương trình: $\left( m^{2}+m+1 \right)x^{4}+2x-2=0$ luôn có nghiệm.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $f\left( x \right)=\left( m^{2}+m+1 \right)x^{4}+2x-2$.
+ Hàm số $f\left( x \right)=\left( m^{2}+m+1 \right)x^{4}+2x-2$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$.
+ Ta có
$\begin{array}{l} f\left( 0 \right)=-2 \\ f\left( 1 \right)=m^{2}+m+1=\left( m+\frac{1}{2} \right)^{2}+\frac{3}{4}>0,\forall m\, \end{array}$
Nên $f\left( 0 \right).\,f\left( 1 \right) < 0\,$
Vậy phương trình $\left( m^{2}+m+1 \right)x^{4}+2x-2=0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $\left( 0;1 \right)$ nên phương trình luôn có nghiệm.
+ Hàm số $f\left( x \right)=\left( m^{2}+m+1 \right)x^{4}+2x-2$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$.
+ Ta có
$\begin{array}{l} f\left( 0 \right)=-2 \\ f\left( 1 \right)=m^{2}+m+1=\left( m+\frac{1}{2} \right)^{2}+\frac{3}{4}>0,\forall m\, \end{array}$
Nên $f\left( 0 \right).\,f\left( 1 \right) < 0\,$
Vậy phương trình $\left( m^{2}+m+1 \right)x^{4}+2x-2=0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $\left( 0;1 \right)$ nên phương trình luôn có nghiệm.