Bài tập nâng cao · Bài 16
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 16
Chứng minh rằng phương trình $\left( 1-m^{2} \right)x^{5}-3x-1=0$ luôn có nghiệm.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $f\left( x \right)=\left( 1-m^{2} \right)x^{5}-3x-1$.
+ Hàm số $f\left( x \right)=\left( 1-m^{2} \right)x^{5}-3x-1$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số liên tục trên $\left[ -1;0 \right]$.
+Ta có: $f\left( 0 \right)=-1$
$f\left( -1 \right)=m^{2}+1>0,\forall m$ nên $f\left( 0 \right).\,f\left( -1 \right) < 0\,$
Vậy phương trình $\left( 1-m^{2} \right)x^{5}-3x-1=0$ có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng $\left( -1;0 \right)$ nên phương trình luôn có nghiệm.
+ Hàm số $f\left( x \right)=\left( 1-m^{2} \right)x^{5}-3x-1$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số liên tục trên $\left[ -1;0 \right]$.
+Ta có: $f\left( 0 \right)=-1$
$f\left( -1 \right)=m^{2}+1>0,\forall m$ nên $f\left( 0 \right).\,f\left( -1 \right) < 0\,$
Vậy phương trình $\left( 1-m^{2} \right)x^{5}-3x-1=0$ có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng $\left( -1;0 \right)$ nên phương trình luôn có nghiệm.