Bài tập nâng cao · Bài 15
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 15
Chứng minh rằng phương trình $x^{5}-5x^{3}+4x-1=0$ có đúng 5 nghiệm.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $f\left( x \right)=x^{5}-5x^{3}+4x-1$.
+ Hàm số $f\left( x \right)=x^{5}-5x^{3}+4x-1=x\left( x^{2}-1 \right)\left( x^{2}-4 \right)-1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
+ Ta có $f\left( -2 \right)=-1\, < 0$, $f\left( -\frac{3}{2} \right)=\frac{105}{32}-1=\frac{73}{32}>0$, $f\left( -1 \right)=-1 < 0$, $f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{45}{32}-1=\frac{13}{32}>0$, $f\left( 1 \right)=-1 < 0$, $f\left( 3 \right)=119>0$.
Vì $f\left( -2 \right).\,f\left( -\frac{3}{2} \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -2;-\frac{3}{2} \right)$.
Vì $f\left( -\frac{3}{2} \right).\,f\left( -1 \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -\frac{3}{2};-1 \right)$.
Vì $f\left( -1 \right).\,f\left( \frac{1}{2} \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -1;\frac{1}{2} \right)$.
Vì $\,f\left( \frac{1}{2} \right).f\left( 1 \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( \frac{1}{2};1 \right)$.
Vì $\,f\left( 1 \right).f\left( 3 \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( 1;3 \right)$
Do các khoảng $\left( -2;-\frac{3}{2} \right)$; $\left( -\frac{3}{2};-1 \right)$; $\left( -1;\frac{1}{2} \right)$; $\left( \frac{1}{2};1 \right)$; $\left( 1;3 \right)$ không giao nhau nên phương trình có ít nhất 5 nghiệm.
Mà phương trình đã cho là phương trình bậc 5 có không quá 5 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.
+ Hàm số $f\left( x \right)=x^{5}-5x^{3}+4x-1=x\left( x^{2}-1 \right)\left( x^{2}-4 \right)-1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
+ Ta có $f\left( -2 \right)=-1\, < 0$, $f\left( -\frac{3}{2} \right)=\frac{105}{32}-1=\frac{73}{32}>0$, $f\left( -1 \right)=-1 < 0$, $f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{45}{32}-1=\frac{13}{32}>0$, $f\left( 1 \right)=-1 < 0$, $f\left( 3 \right)=119>0$.
Vì $f\left( -2 \right).\,f\left( -\frac{3}{2} \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -2;-\frac{3}{2} \right)$.
Vì $f\left( -\frac{3}{2} \right).\,f\left( -1 \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -\frac{3}{2};-1 \right)$.
Vì $f\left( -1 \right).\,f\left( \frac{1}{2} \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -1;\frac{1}{2} \right)$.
Vì $\,f\left( \frac{1}{2} \right).f\left( 1 \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( \frac{1}{2};1 \right)$.
Vì $\,f\left( 1 \right).f\left( 3 \right) < 0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( 1;3 \right)$
Do các khoảng $\left( -2;-\frac{3}{2} \right)$; $\left( -\frac{3}{2};-1 \right)$; $\left( -1;\frac{1}{2} \right)$; $\left( \frac{1}{2};1 \right)$; $\left( 1;3 \right)$ không giao nhau nên phương trình có ít nhất 5 nghiệm.
Mà phương trình đã cho là phương trình bậc 5 có không quá 5 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.