Bài tập nâng cao · Bài 14
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 14
Chứng minh rằng phương trình $4x^{4}+2x^{2}-x-3=0$ có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng $\left( -1;1 \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $f\left( x \right)=4x^{4}+2x^{2}-x-3$.
+ Hàm số $f\left( x \right)=4x^{4}+2x^{2}-x-3$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\left[ -1;0 \right]$, $\left[ 0;1 \right]$.
+ Ta có $f\left( -1 \right)=4\,$, $f\left( 0 \right)=-3$, $f\left( 1 \right)=2$
Vì $f\left( -1 \right).\,f\left( 0 \right) < 0\,$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -1;0 \right)$.
Vì $f\left( 0 \right).\,f\left( 1 \right) < 0\,$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$.
Mà $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 0;1 \right)$ là hai khoảng phân biệt.
Vậy phương trình $4x^{4}+2x^{2}-x-3=0$ có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $\left( -1;1 \right)$.
+ Hàm số $f\left( x \right)=4x^{4}+2x^{2}-x-3$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\left[ -1;0 \right]$, $\left[ 0;1 \right]$.
+ Ta có $f\left( -1 \right)=4\,$, $f\left( 0 \right)=-3$, $f\left( 1 \right)=2$
Vì $f\left( -1 \right).\,f\left( 0 \right) < 0\,$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -1;0 \right)$.
Vì $f\left( 0 \right).\,f\left( 1 \right) < 0\,$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$.
Mà $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 0;1 \right)$ là hai khoảng phân biệt.
Vậy phương trình $4x^{4}+2x^{2}-x-3=0$ có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $\left( -1;1 \right)$.