Bài tập nâng cao · Bài 13
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 13
Chứng minh rằng các phương trình luôn có nghiệm:
a. $x^{4}-3x+1=0$
b. $x^{5}-10x^{3}+100=0$
a. $x^{4}-3x+1=0$
b. $x^{5}-10x^{3}+100=0$
Xem lời giải
Lời giải
a. Hàm số $f\left( x \right)=x^{4}-3x+1$ liên tục với mọi x thuộc $\mathbb{R}$.
$f\left( 0 \right)=1;f\left( 1 \right)=-1$
$\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\Rightarrow \exists x_0 \in \left( 0;1 \right)\left| f\left( x_0 \right) \right.=0$
Như vậy phương trình $f\left( x \right)=0$ tồn tại ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng $\left( 0;1 \right)$
$\Rightarrow$ Phương trình luôn có nghiệm.
b. Hàm số $f\left( x \right)=x^{5}-10x^{3}+100$ liên tục với mọi x thuộc $\mathbb{R}$.
$f\left( 0 \right)=100;f\left( -10 \right)=-89900$
$\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( -10 \right) < 0\Rightarrow \exists x_0 \in \left( -10;0 \right)\left| f\left( x_0 \right) \right.=0$
Vậy phương trình $f\left( x \right)=0$ tồn tại ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng $\left( -10;0 \right)\Rightarrow$ Phương trình luôn có nghiệm.
$f\left( 0 \right)=1;f\left( 1 \right)=-1$
$\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\Rightarrow \exists x_0 \in \left( 0;1 \right)\left| f\left( x_0 \right) \right.=0$
Như vậy phương trình $f\left( x \right)=0$ tồn tại ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng $\left( 0;1 \right)$
$\Rightarrow$ Phương trình luôn có nghiệm.
b. Hàm số $f\left( x \right)=x^{5}-10x^{3}+100$ liên tục với mọi x thuộc $\mathbb{R}$.
$f\left( 0 \right)=100;f\left( -10 \right)=-89900$
$\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( -10 \right) < 0\Rightarrow \exists x_0 \in \left( -10;0 \right)\left| f\left( x_0 \right) \right.=0$
Vậy phương trình $f\left( x \right)=0$ tồn tại ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng $\left( -10;0 \right)\Rightarrow$ Phương trình luôn có nghiệm.