Bài tập nâng cao · Bài 12
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 12
Chứng minh rằng phương trình: $x^{5}-3x^{4}+5x-2=0$ có ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng $\left( -2;5 \right)$
Xem lời giải
Lời giải
Hàm số $f\left( x \right)=x^{5}-3x^{4}+5x-2$ liên tục với mọi x thuộc $\mathbb{R}$.
$f\left( 0 \right)=-2;f\left( 1 \right)=1;f\left( 2 \right)=-8;f\left( 3 \right)=13$
$\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\Rightarrow \exists x_1 \in \left( 0;1 \right)\left| f\left( x_1 \right) \right.=0$
$\Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\Rightarrow \exists x_2 \in \left( 1;2 \right)\left| f\left( x_2 \right) \right.=0$
$\Rightarrow f\left( 2 \right).f\left( 3 \right) < 0\Rightarrow \exists x_3 \in \left( 2;3 \right)\left| f\left( x_3 \right) \right.=0$
Như vậy tồn tại ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng $\left( -2;5 \right)$
$f\left( 0 \right)=-2;f\left( 1 \right)=1;f\left( 2 \right)=-8;f\left( 3 \right)=13$
$\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\Rightarrow \exists x_1 \in \left( 0;1 \right)\left| f\left( x_1 \right) \right.=0$
$\Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\Rightarrow \exists x_2 \in \left( 1;2 \right)\left| f\left( x_2 \right) \right.=0$
$\Rightarrow f\left( 2 \right).f\left( 3 \right) < 0\Rightarrow \exists x_3 \in \left( 2;3 \right)\left| f\left( x_3 \right) \right.=0$
Như vậy tồn tại ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng $\left( -2;5 \right)$