Bài tập nâng cao · Bài 11
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 11
Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{3-\sqrt{9-x}}{x}\,,\,\,0 < x < 9 \\ m\,,\,\,\,x=0 \\ \frac{3}{x}\,,\,\,\,x\geq 9 \end{array} \right.$. Tìm $m$ để $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
+ TXĐ: $D=\left[ 0;+\infty \right)$.
+ Với $x\geq 9$ thì $f(x)=\frac{3}{x}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên nửa khoảng $\left[ 9;+\infty \right)$ nên liên tục trên nửa khoảng $\left[ 9;+\infty \right)$.
+ Với $0 < x < 9$ thì $f(x)=\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng $\left( 0;9 \right)$ nên liên tục trên khoảng $\left( 0;9 \right)$.
+ Tại điểm $x=0$:
Ta có $f\left( 0 \right)=m$ và $\lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{1}{3+\sqrt{9-x}}=\frac{1}{6}$.
Vậy để hàm số liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right)$ thì khi hàm số liên tục tại $x=0\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=f(0)\Leftrightarrow m=\frac{1}{6}$.
+ Với $x\geq 9$ thì $f(x)=\frac{3}{x}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên nửa khoảng $\left[ 9;+\infty \right)$ nên liên tục trên nửa khoảng $\left[ 9;+\infty \right)$.
+ Với $0 < x < 9$ thì $f(x)=\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng $\left( 0;9 \right)$ nên liên tục trên khoảng $\left( 0;9 \right)$.
+ Tại điểm $x=0$:
Ta có $f\left( 0 \right)=m$ và $\lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{1}{3+\sqrt{9-x}}=\frac{1}{6}$.
Vậy để hàm số liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right)$ thì khi hàm số liên tục tại $x=0\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=f(0)\Leftrightarrow m=\frac{1}{6}$.