Bài tập nâng cao · Bài 10
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 10
Tìm $a$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ với $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} 2x+a \text{ khi } x\leq 1 \\ \frac{x^{3}-x^{2}+2x-2}{x-1} \text{ khi } x>1 \end{array} \right.$.
Xem lời giải
Lời giải
+ Khi $x<1$ thì $f\left( x \right)=2x+a$ là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$.
+ Khi $x>1$ thì $f\left( x \right)=\frac{x^{3}-x^{2}+2x-2}{x-1}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ nên liên tục trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
+ Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x=1$, ta có:
* $f\left( 1 \right)=2+a$.
* $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\left( 2x+a \right)=2+a$.
* $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{x^{3}-x^{2}+2x-2}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{\left( x-1 \right)\left( x^{2}+2 \right)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\left( x^{2}+2 \right)=3$.
Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow$ hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x=1$
$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow a+2=3\Leftrightarrow a=1$.
+ Khi $x>1$ thì $f\left( x \right)=\frac{x^{3}-x^{2}+2x-2}{x-1}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ nên liên tục trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
+ Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x=1$, ta có:
* $f\left( 1 \right)=2+a$.
* $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\left( 2x+a \right)=2+a$.
* $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{x^{3}-x^{2}+2x-2}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{\left( x-1 \right)\left( x^{2}+2 \right)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\left( x^{2}+2 \right)=3$.
Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow$ hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x=1$
$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow a+2=3\Leftrightarrow a=1$.