Bài tập nâng cao · Bài 9
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 9
Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{1-x^{2}}$ trên đoạn $[-1;1]$.
Xem lời giải
Lời giải
Tập xác định: $D=[-1;1]$.
$\forall x_0\in \left( -1;1 \right),$ ta có $\lim\limits_{x\to x_0}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to x_0}\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-x_0^{2}}=f\left( x_0 \right)$.
Suy ra hàm số liên tục trên khoảng $\left( -1;1 \right)$.
Mặt khác: $\lim\limits_{x\to -1^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to -1^{+}}\sqrt{1-x^{2}}=0=f\left( -1 \right)$; $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\sqrt{1-x^{2}}=0=f\left( 1 \right)$.
Vậy hàm số liên tục trên đoạn $[-1;1]$.
$\forall x_0\in \left( -1;1 \right),$ ta có $\lim\limits_{x\to x_0}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to x_0}\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-x_0^{2}}=f\left( x_0 \right)$.
Suy ra hàm số liên tục trên khoảng $\left( -1;1 \right)$.
Mặt khác: $\lim\limits_{x\to -1^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to -1^{+}}\sqrt{1-x^{2}}=0=f\left( -1 \right)$; $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\sqrt{1-x^{2}}=0=f\left( 1 \right)$.
Vậy hàm số liên tục trên đoạn $[-1;1]$.