Bài tập nâng cao · Bài 8
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 8
Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^{2}-2x-3}{x-3} \text{ khi } x\neq 3 \\ 4 \text{ khi } x=3 \end{array} \right.$ trên tập xác định của nó.
Xem lời giải
Lời giải
+ TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
+ Nếu $x\neq 3$ thì $f(x)=\frac{x^{2}-2x-3}{x-3}$. Vì $f(x)$ là thương của 2 đa thức, đồng thời mẫu số $x-3\neq 0$ nên $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$. (1)
+ Nếu $x=3$ ta có $f(3)=4$ và
$\lim\limits_{x\to 3}f(x)=\lim\limits_{x\to 3}\frac{x^{2}-2x-3}{x-3}=\lim\limits_{x\to 3}\frac{(x+1)(x-3)}{x-3}=\lim\limits_{x\to 3}(x+1)=4$
Vì $\lim\limits_{x\to 3}f(x)=f(3)=4$ nên $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0=3$.(2)
Từ (1) và (2) suy ra $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
+ Nếu $x\neq 3$ thì $f(x)=\frac{x^{2}-2x-3}{x-3}$. Vì $f(x)$ là thương của 2 đa thức, đồng thời mẫu số $x-3\neq 0$ nên $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$. (1)
+ Nếu $x=3$ ta có $f(3)=4$ và
$\lim\limits_{x\to 3}f(x)=\lim\limits_{x\to 3}\frac{x^{2}-2x-3}{x-3}=\lim\limits_{x\to 3}\frac{(x+1)(x-3)}{x-3}=\lim\limits_{x\to 3}(x+1)=4$
Vì $\lim\limits_{x\to 3}f(x)=f(3)=4$ nên $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0=3$.(2)
Từ (1) và (2) suy ra $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.