Bài tập nâng cao · Bài 7
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 7
Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} x^{3}+x+1 \text{ khi } x\geq 1 \\ 2x+4 \text{ khi } x<1 \end{array} \right.$ trên tập xác định của nó.
Xem lời giải
Lời giải
+ TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có:
+ Trên khoảng $(-\infty ;1)$: $f\left( x \right)=2x+4$ là hàm đa thức nên $f\left( x \right)$ liên tục trên $(-\infty ;1)$.
+ Trên khoảng $(1;+\infty )$: $f\left( x \right)=x^{3}+x+1$ là hàm đa thức nên $f\left( x \right)$ liên tục trên $(1;+\infty )$.
+ Tại điểm $x_0=1$, ta có: $f(1)=1^{3}+1+1=3$;
$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}(2x+4)=6$
$\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}(x^{3}+x+1)=3$
Vì $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)\neq \lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)$ nên không tồn tại $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$. Vậy hàm số không liên tục tại điểm $x_0=1$. Tóm lại $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ và gián đoạn tại điểm $x_0=1.$
Ta có:
+ Trên khoảng $(-\infty ;1)$: $f\left( x \right)=2x+4$ là hàm đa thức nên $f\left( x \right)$ liên tục trên $(-\infty ;1)$.
+ Trên khoảng $(1;+\infty )$: $f\left( x \right)=x^{3}+x+1$ là hàm đa thức nên $f\left( x \right)$ liên tục trên $(1;+\infty )$.
+ Tại điểm $x_0=1$, ta có: $f(1)=1^{3}+1+1=3$;
$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}(2x+4)=6$
$\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}(x^{3}+x+1)=3$
Vì $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)\neq \lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)$ nên không tồn tại $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$. Vậy hàm số không liên tục tại điểm $x_0=1$. Tóm lại $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ và gián đoạn tại điểm $x_0=1.$