Bài tập nâng cao · Bài 6
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 6
Chứng minh rằng hàm số sau liên tục trên $\mathbb{R}$.
a. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^{3}+x+2}{x^{3}+1} \text{ khi } x\neq -1 \\ \frac{4}{3} \text{ khi } x=-1 \end{array} \right.$
b. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{2} \text{ khi } x\leq 0 \\ \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1} \text{ khi } x>0 \end{array} \right.$
a. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^{3}+x+2}{x^{3}+1} \text{ khi } x\neq -1 \\ \frac{4}{3} \text{ khi } x=-1 \end{array} \right.$
b. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{2} \text{ khi } x\leq 0 \\ \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1} \text{ khi } x>0 \end{array} \right.$
Xem lời giải
Lời giải
a, Hàm số $f(x)=\frac{x^{3}+x+2}{x^{3}+1}$ xác định với mọi $x\neq -1\Rightarrow$ hàm $f(x)$ liên tục với mọi $x\neq -1$.
Có $\lim\limits_{x\to -1}f(x)=\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^{3}+x+2}{x^{3}+1}=\lim\limits_{x\to -1}\left( 1+\frac{x+1}{\left( x+1 \right)\left( x^{2}-x+1 \right)} \right)=\lim\limits_{x\to -1}\left( 1+\frac{1}{\left( x^{2}-x+1 \right)} \right)=\frac{4}{3}=f\left( -1 \right)$
$\Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x=-1$.
Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
b, Hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1}$ xác định với mọi $x\geq -1;x\neq 0\Rightarrow$ hàm $f(x)$ liên tục với mọi $x\geq -1;x\neq 0$.
Có $\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$.
$\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{\left( \sqrt{x+1}-1 \right)\left( \sqrt{x+1}+1 \right)\left( \sqrt[3]{\left( x+1 \right)^{2}}+\sqrt[3]{x+1}+1 \right)}{\left( \sqrt{x+1}+1 \right)\left( \sqrt[3]{x+1}-1 \right)\left( \sqrt[3]{\left( x+1 \right)^{2}}+\sqrt[3]{x+1}+1 \right)}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{x\left( \sqrt[3]{\left( x+1 \right)^{2}}+\sqrt[3]{x+1}+1 \right)}{\left( \sqrt{x+1}+1 \right)x}=\frac{3}{2}$
$\Rightarrow \lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=f\left( 0 \right)=\frac{3}{2}$
$\Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x=0$.
Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
Có $\lim\limits_{x\to -1}f(x)=\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^{3}+x+2}{x^{3}+1}=\lim\limits_{x\to -1}\left( 1+\frac{x+1}{\left( x+1 \right)\left( x^{2}-x+1 \right)} \right)=\lim\limits_{x\to -1}\left( 1+\frac{1}{\left( x^{2}-x+1 \right)} \right)=\frac{4}{3}=f\left( -1 \right)$
$\Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x=-1$.
Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
b, Hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1}$ xác định với mọi $x\geq -1;x\neq 0\Rightarrow$ hàm $f(x)$ liên tục với mọi $x\geq -1;x\neq 0$.
Có $\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$.
$\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{\left( \sqrt{x+1}-1 \right)\left( \sqrt{x+1}+1 \right)\left( \sqrt[3]{\left( x+1 \right)^{2}}+\sqrt[3]{x+1}+1 \right)}{\left( \sqrt{x+1}+1 \right)\left( \sqrt[3]{x+1}-1 \right)\left( \sqrt[3]{\left( x+1 \right)^{2}}+\sqrt[3]{x+1}+1 \right)}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{x\left( \sqrt[3]{\left( x+1 \right)^{2}}+\sqrt[3]{x+1}+1 \right)}{\left( \sqrt{x+1}+1 \right)x}=\frac{3}{2}$
$\Rightarrow \lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=f\left( 0 \right)=\frac{3}{2}$
$\Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x=0$.
Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.