Bài tập nâng cao · Bài 5
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 5
Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{\sqrt[3]{6x-5}-\sqrt{4x-3}}{(x-1)^{2}} \text{ khi } x\neq 1 \\ 2019m \text{ khi } x=1 \end{array} \right.$ liên tục tại $x=1$?
Xem lời giải
Lời giải
Hàm số xác định tại $x=1$.
Ta có $f(1)=2019m$. Tính $\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{6x-5}-\sqrt{4x-3}}{(x-1)^{2}}$.
Đặt $t=x-1$ thì $x=t+1$, $x\to 1$ thì $t\to 0$
$\frac{\sqrt[3]{6x-5}-\sqrt{4x-3}}{(x-1)^{2}}=\frac{\sqrt[3]{6t+1}-\sqrt{4t+1}}{t^{2}}=\frac{\sqrt[3]{6t+1}-(2t+1)}{t^{2}}+\frac{(2t+1)-\sqrt{4t+1}}{t^{2}}$.
$=\frac{6t+1-(8t^{3}+12t^{2}+6t+1)}{t^{2}\left[ \sqrt[3]{(6t+1)^{2}}+(2t+1)\sqrt[3]{6t+1}+(2t+1)^{2} \right]}+\frac{(4t^{2}+4t+1)-(4t+1)}{t^{2}(2t+1+\sqrt{4t+1})}$.
$=\frac{-8t-12}{\left[ \sqrt[3]{(6t+1)^{2}}+(2t+1)\sqrt[3]{6t+1}+(2t+1)^{2} \right]}+\frac{4}{(2t+1+\sqrt{4t+1})}$.
Vậy $\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{6x-5}-\sqrt{4x-3}}{(x-1)^{2}}=\lim\limits_{t\to 0}\left( \frac{-8t-12}{\left[ \sqrt[3]{(6t+1)^{2}}+(2t+1)\sqrt[3]{6t+1}+(2t+1)^{2} \right]}+\frac{4}{(2t+1+\sqrt{4t+1})} \right)=-2$.
Để hàm số liên tục tại $x=1$ khi $f(1)=\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{6x-5}-\sqrt{4x-3}}{(x-1)^{2}}\Leftrightarrow 2019m=-2\Leftrightarrow m=\frac{-2}{2019}$.
Ta có $f(1)=2019m$. Tính $\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{6x-5}-\sqrt{4x-3}}{(x-1)^{2}}$.
Đặt $t=x-1$ thì $x=t+1$, $x\to 1$ thì $t\to 0$
$\frac{\sqrt[3]{6x-5}-\sqrt{4x-3}}{(x-1)^{2}}=\frac{\sqrt[3]{6t+1}-\sqrt{4t+1}}{t^{2}}=\frac{\sqrt[3]{6t+1}-(2t+1)}{t^{2}}+\frac{(2t+1)-\sqrt{4t+1}}{t^{2}}$.
$=\frac{6t+1-(8t^{3}+12t^{2}+6t+1)}{t^{2}\left[ \sqrt[3]{(6t+1)^{2}}+(2t+1)\sqrt[3]{6t+1}+(2t+1)^{2} \right]}+\frac{(4t^{2}+4t+1)-(4t+1)}{t^{2}(2t+1+\sqrt{4t+1})}$.
$=\frac{-8t-12}{\left[ \sqrt[3]{(6t+1)^{2}}+(2t+1)\sqrt[3]{6t+1}+(2t+1)^{2} \right]}+\frac{4}{(2t+1+\sqrt{4t+1})}$.
Vậy $\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{6x-5}-\sqrt{4x-3}}{(x-1)^{2}}=\lim\limits_{t\to 0}\left( \frac{-8t-12}{\left[ \sqrt[3]{(6t+1)^{2}}+(2t+1)\sqrt[3]{6t+1}+(2t+1)^{2} \right]}+\frac{4}{(2t+1+\sqrt{4t+1})} \right)=-2$.
Để hàm số liên tục tại $x=1$ khi $f(1)=\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{6x-5}-\sqrt{4x-3}}{(x-1)^{2}}\Leftrightarrow 2019m=-2\Leftrightarrow m=\frac{-2}{2019}$.