Bài tập nâng cao · Bài 4
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 4
Tìm các giá trị của $m$ để hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x} & \text{khi} & x<0 \\ m+\frac{1-x}{1+x} & \text{khi} & x\geq 0 \end{array} \right.$ liên tục tại $x=0$?
Xem lời giải
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ và $x=0\in D$.
$f\left( 0 \right)=m+1$.
$\lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left( m+\frac{1-x}{1+x} \right)=m+1$.
$\lim\limits_{x\to 0^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\left( \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x} \right)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{-2x}{x\left( \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} \right)}=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{-2}{\left( \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} \right)}=-1$.
Để hàm liên tục tại $x=0$ thì $\lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}f\left( x \right)=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow m+1=-1\Leftrightarrow m=-2$.
Vậy $m=-2$ thỏa mãn đề bài.
$f\left( 0 \right)=m+1$.
$\lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left( m+\frac{1-x}{1+x} \right)=m+1$.
$\lim\limits_{x\to 0^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\left( \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x} \right)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{-2x}{x\left( \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} \right)}=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{-2}{\left( \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} \right)}=-1$.
Để hàm liên tục tại $x=0$ thì $\lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}f\left( x \right)=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow m+1=-1\Leftrightarrow m=-2$.
Vậy $m=-2$ thỏa mãn đề bài.