Bài tự luận · Bài 9
Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài tự luận Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 9
(KNTT11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, cạnh bằng $a$, góc $BAD$ bằng $60^{\circ}$. Kẻ $OH$ vuông góc với $SC$ tại $H$. Biết $SA\perp (ABCD)$ và $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Chứng minh rằng:
a) $(SBD)\perp (SAC)$;
b) $(SBC)\perp (BDH)$;
c) $(SBC)\perp (SCD)$.
a) $(SBD)\perp (SAC)$;
b) $(SBC)\perp (BDH)$;
c) $(SBC)\perp (SCD)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$ mà $BD\perp AC$, do đó $BD\perp (SAC)$.
Vì mặt phẳng $(SBD)$ chứa $BD$ nên $(SBD)\perp (SAC)$.
b) Ta có $BD\perp (SAC)$ nên $BD\perp SC$ mà $SC\perp OH$, do đó $SC\perp (BDH)$.
Vì mặt phẳng $(SBC)$ chứa $SC$ nên $(SBC)\perp (BDH)$.
c) Ta có: $SC=\sqrt{SA^{2} +AC^{2} }=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$.
Vì $\Delta CHO \sim \Delta CAS$ nên $\frac{HO}{AS}=\frac{CO}{CS}$, suy ra $HO=\frac{CO\cdot AS}{CS}=\frac{a}{2}=\frac{BD}{2}$.
Do đó, tam giác $BDH$ vuông tại $H$, suy ra $\widehat { BHD }=90^{\circ}$.
Ta lại có $BH\perp SC,DH\perp SC$ nên $(SBC)\perp (SCD)$.