Cho tập hợp $ S $ gồm các số tự nhiên có $ 8 $ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một phần tử từ tập $ S $. Tính xác xuất để số được chọn không chia hết cho $ 9 $.

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = 1632960$ (số các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số $0,1,\ldots,9$). Gọi $ A $ là biến cố “Số được chọn không chia hết cho 9” Khi đó $\bar{A}$ là biến cố “Số được chọn chia hết cho 9” Ta biết tổng các chữ số từ 0 đến 9 là 45, chia hết cho 9. Để có $ 1 $ số có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 9 thì phải bỏ đi 2 số trong tập $\{0,1,\ldots,9\}$ mà tổng của hai số bỏ đi phải chia hết cho 9. Suy ra hai số bỏ đó là các cặp $(0;9), (1;8), (2;7), (3;6), (4;5)$. Trường hợp 1: Hai số được bỏ có số $ 0 $: (tức là bỏ hai số $ 0,9 $): còn lại $ 8 $ số: 1,2,3,4,5,6,7,8. Số các số có $ 8 $chữ số khác nhau được lập từ $ 8 $ số trên là $ 8 $!$=40320$. Trường hợp 2: Hai số được bỏ không có số 0: có 4 cách chọn bỏ (các cặp $(1;8),(2;7),(3;6),(4;5)$). Số các số có 8 chữ số được lập từ 8 số còn lại (trong đó có chữ số 0) là $ 7.7! $$=35280$ Trong trường hợp này có $ 4.7.7!=141120 $. Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố $\bar{A}$ là: $n(\bar{A}) = 40320 + 141120 = 181440$. Vậy $P(\bar{A}) = \frac{181440}{1632960} = \frac{1}{9}$, suy ra $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.