Bài tập nâng cao · Bài 2
Bài tập nâng cao Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 2
Cho $\overrightarrow{a}=(2;0)$, $\overrightarrow{b}=\left(-1;\frac{1}{2}\right)$, $\overrightarrow{c}=(4;-6)$.
a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}$.
b) Tìm 2 số $m,n$ sao cho $m\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$.
c) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{c}$ theo $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.
a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}$.
b) Tìm 2 số $m,n$ sao cho $m\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$.
c) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{c}$ theo $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}=\left(2\cdot2-3\cdot(-1)+5\cdot4;2\cdot0-3\cdot\frac{1}{2}+5\cdot(-6)\right)=\left(27;-\frac{63}{2}\right)$.
b) Ta có: $m\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\Rightarrow2m\overrightarrow{i}+\left(-\overrightarrow{i}+\frac{1}{2}\overrightarrow{j}\right)-n\left(4\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}\right)=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2m-1-4n=0\\\frac{1}{2}+6n=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{3}\\n=-\frac{1}{12}\end{array}\right.$.
c) Giả sử $\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$ $(x,y\in\mathbb{R})$, ta có $\left\{\begin{array}{l}4=2x-y\\-6=\frac{1}{2}y\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-4\\y=-12\end{array}\right.$.
Vậy $\overrightarrow{c}=-4\overrightarrow{a}-12\overrightarrow{b}$.
b) Ta có: $m\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\Rightarrow2m\overrightarrow{i}+\left(-\overrightarrow{i}+\frac{1}{2}\overrightarrow{j}\right)-n\left(4\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}\right)=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2m-1-4n=0\\\frac{1}{2}+6n=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{3}\\n=-\frac{1}{12}\end{array}\right.$.
c) Giả sử $\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$ $(x,y\in\mathbb{R})$, ta có $\left\{\begin{array}{l}4=2x-y\\-6=\frac{1}{2}y\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-4\\y=-12\end{array}\right.$.
Vậy $\overrightarrow{c}=-4\overrightarrow{a}-12\overrightarrow{b}$.