Bài tự luận Hàm số bậc ba · Bài 2

1. Tập xác định: $\mathbb{R}$.
2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
Đạo hàm $y'=x^2+2x-3$; $y'=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=-3$.
Trên các khoảng $(-\infty;-3)$ và $(1;+\infty)$, $y'>0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.
Trên khoảng $(-3;1)$, $y'<0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ và $y_{\mathrm{CĐ}}=10$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và $y_{\mathrm{CT}}=-\frac{2}{3}$.
- Các giới hạn tại vô cực:
$\lim_{x\to-\infty}y=\lim_{x\to-\infty}x^3\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)=-\infty$; $\lim_{x\to+\infty}y=\lim_{x\to+\infty}x^3\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)=+\infty$.
- Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:
Khi $x=0$ thì $y=1$ nên $(0;1)$ là giao điểm của đồ thị với trục $Oy$.
Điểm $(-3;10)$ là điểm cực đại và điểm $\left(1;-\frac{2}{3}\right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn trên Hình.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I\left(-1;\frac{14}{3}\right)$.