Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 5
Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy B. Hai nhà máy thoả thuận rằng, hằng tuần A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất $x$ sản phẩm trong một tuần là $C(x)=100+30x$ (triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi sản phẩm).
a) Nếu mỗi tuần A bán $x$ sản phẩm cho B thì A thu được lợi nhuận bao nhiêu?
b) A bán cho B bao nhiêu sản phẩm mỗi tuần thì thu được lợi nhuận lớn nhất? Tìm giá trị lợi nhuận lớn nhất đó.
Xem lời giải
Lời giải
a) Số tiền mà A thu được (gọi là doanh thu) từ việc bán $x$ sản phẩm $(x\in\mathbb{Z},0\leq x\leq100)$ cho B là $R(x)=x\cdot P(x)=x(45-0,001x^2)=45x-0,001x^3$ (triệu đồng).
Lợi nhuận (triệu đồng) mà A thu được là
$L(x)=R(x)-C(x)=45x-0,001x^3-(100+30x)=-0,001x^3+15x-100$ $(x\in\mathbb{Z},0\leq x\leq100)$.
b) Xét hàm số $f(x)=-0,001x^3+15x-100$ với $0\leq x\leq100$, ta có:
$f'(x)=-0,003x^2+15$; $f'(x)=0\Leftrightarrow-0,003x^2+15=0\Leftrightarrow x^2=5000\Leftrightarrow x=50\sqrt{2}\in[0;100]$.
Ta có $f(0)=-100$; $f(50\sqrt{2})=500\sqrt{2}-100\approx607,107$; $f(100)=400$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta có $\max_{[0;100]}f(x)=f(50\sqrt{2})=500\sqrt{2}-100\approx607,107$.
Ta có $70<50\sqrt{2}<71$ và $f(70)=607$; $f(71)=607,089$.
Vậy nhà máy A thu được lợi nhuận lớn nhất khi bán cho nhà máy B 71 sản phẩm mỗi tuần và lợi nhuận lớn nhất thu được là 607,089 triệu đồng.
