Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 5
Thức ăn chăn nuôi A gồm $60\%$ bột ngô và $40\%$ bột đậu nành, thức ăn chăn nuôi B gồm $80\%$ bột ngô và $20\%$ bột đậu nành. Hiện tại xí nghiệp sản xuất chỉ còn 2,4 tấn bột ngô và 1,2 tấn bột đậu nành. Với số nguyên liệu này, xí nghiệp đó nên sản xuất khối lượng bao nhiêu mỗi loại sản phẩm A và B để thu được lợi nhuận cao nhất? Biết rằng A cho lợi nhuận 2 triệu đồng/tấn và $B$ cho lợi nhuận 1,8 triệu đồng/tấn.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $x,y$ ($x\geq 0, y\geq 0$) lần lượt là số tấn sản phẩm A và B được sản xuất.
Theo dữ kiện bài toán, ta có $\left\{ \begin{array}{l} 0,6x+0,8y\leq 2,4 \\ 0,4x+0,2y\leq 1,2 \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} 3x+4y-12\leq 0 \\ 2x+y-6\leq 0 \end{array} \right.$.
Lợi nhuận thu được là $P=2x+1,8y$ (triệu đồng).
Từ đó, ta nhận được bài toán: $P=2x+1,8y\to \max$ với ràng buộc $\left\{ \begin{array}{l} 3x+4y-12\leq 0 \\ 2x+y-6\leq 0 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{array} \right.$
Tập phương án $\Omega$ là miền tứ giác $OABC$ như hình trên, trong đó $O(0;0), A(0;3), B(2,4;1,2), C(3;0)$.
Giá trị của $P$ tại các đỉnh: $P(0;0)=0; P(0;3)=5,4; P(2,4;1,2)=\frac{174}{25}=6,96; P(3;0)=6$.
Từ đó, $\max_{\Omega}P=P(2,4;1,2)=6,96$.
Vậy để thu được lợi nhuận lớn nhất, nhà sản xuất cần sản xuất 2,4 tấn sản phẩm A và 1,2 tấn sản phẩm B.
