Có bốn nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư có số người tương ứng là 5 người, 7 người, 4 người, 2 người và xác suất bắn trúng đích của mỗi người trong từng nhóm này lần lượt bằng $0,8;0,7;0,6;0,5$. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ trong số những xạ thủ nói trên. Biết rằng xạ thủ này bắn trượt. Hỏi xạ thủ này có khả năng ở nhóm nào nhất?

Question

TÓM TẮT KIẾN THỨC Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu $ Ω $ và hai biến cố $ A,B $. Ta có công thức xác suất toàn phần như sau $ P(B)=P(A∩B)+P( \bar A∩B)=P(A)\cdot P(B\mid A)+P( \bar A)\cdot P(B\mid \bar A) $ Nếu có thêm giả thiết $ P(B)>0 $ thì ta có công thức Bayes sau đây: $ P(A\mid B)=\frac { P(A)\cdot P(B\mid A) } { P(A)\cdot P(B\mid A)+P( \bar A)\cdot P(B\mid \bar A) }=\frac { P(A)\cdot P(B\mid A) } { P(B) } $ Các biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ n } (n\in \mathbb{N},n\geq 2) $ được gọi là một nhóm đầy đủ nếu chúng đôi một xung khắc (tức là $ A_{ i } ∩A_{ j } =∅,∀i
eq j $) và đồng thời $ A_{ 1 } ∪A_{ 2 } ∪…∪A_{ n } =Ω $. Hai biến cố $ A $ và $ \bar A $ luôn tạo thành một nhóm đầy đủ. Hiển nhiên $ ∅ $ và $ Ω $ cũng tạo thành một nhóm đầy đủ, được gọi là nhóm đầy đủ tầm thường. Với một nhóm đầy đủ $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,A_{ 3 } ,…,A_{ n } $ và biến cố $ B $ ta luôn có $B=\bigcup_{k=1}^{n}(B\cap A_k)$ nên $ P(B)=\sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { B∩A_{ k } } ight ) $ (do các biến cố $ B∩A_{ 1 } ,…,B∩A_{ n } $ đôi một xung khắc). Áp dụng công thức nhân ta được $ P(B)=\sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { A_{ k } } ight )P\left ( { B\mid A_{ k } } ight ) $. Đây chính là công thức xác suất toàn phần (hay công thức xác suất đầy đủ) cho trường hợp tổng quát. Công thức xác suất toàn phần ta nêu ở đầu mục này chính là trường hợp $ n=2 $. Đến đây ta cũng thiết lập được công thức Bayes cho trường hợp tổng quát như sau (với giả thiết $ P(B)>0 $): $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight )=\frac { P\left ( { A_{ i } } ight )\cdot P\left ( { B\mid A_{ i } } ight ) } { P(B) }=\frac { P\left ( { A_{ i } } ight )\cdot P\left ( { B\mid A_{ i } } ight ) } { \sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { A_{ k } } ight )P\left ( { B\mid A_{ k } } ight ) };i=1,2,…,n $ Công thức Bayes giúp ta tính các xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight ) $ trong khi đã biết $ P\left ( { A_{ i } } ight ) $. Xác suất $ P\left ( { A_{ i } } ight ) $ được xác định từ trước nên thường được gọi là xác suất tiên nghiệm, còn xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight ) $ được xác định sau khi đã có kết quả thí nghiệm nào đó thể hiện qua sự xuất hiện của $ B $ nên được gọi là xác suất hậu nghiệm. Ý nghĩa của công thức Bayes: Một nhà nghiên cứu quan tâm đến xác suất xảy ra của biến cố $ A_{ i } $ và tính được xác suất $ P\left ( { A_{ i } } ight ) $. Sau đó, nhà nghiên cứu biết được thông tin rằng biến cố $ B $ đã xảy ra. Với thông tin mới này, nhà nghiên cứu sẽ cập nhật lại hiểu biết của mình về khả năng xảy ra của biến cố $ A_{ i } $ bằng cách tính xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight ) $ là xác suất xảy ra biến cố $ A_{ i } $ khi biến cố $ B $ đã xảy ra. Có bốn nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư có số người tương ứng là 5 người, 7 người, 4 người, 2 người và xác suất bắn trúng đích của mỗi người trong từng nhóm này lần lượt bằng $0,8;0,7;0,6;0,5$. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ trong số những xạ thủ nói trên. Biết rằng xạ thủ này bắn trượt. Hỏi xạ thủ này có khả năng ở nhóm nào nhất?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Xét các biến cố sau đây: $ A $: "Xạ thủ được chọn bắn trượt", $ B_{ 1 } $: "Xạ thủ được chọn thuộc nhóm thứ nhất", $ B_{ 2 } $: "Xạ thủ được chọn thuộc nhóm thứ hai", $ B_{ 3 } $: "Xạ thủ được chọn thuộc nhóm thứ ba", $ B_{ 4 } $: "Xạ thủ được chọn thuộc nhóm thứ tư". Ta thấy $ B_{ 1 } ,B_{ 2 } ,B_{ 3 } ,B_{ 4 } $ tạo thành một nhóm đầy đủ và $ P\left ( { B_{ 1 } } ight )=\frac { 5 } { 18 };P\left ( { B_{ 2 } } ight )=\frac { 7 } { 18 };P\left ( { B_{ 3 } } ight )=\frac { 4 } { 18 } $; $ P\left ( { B_{ 4 } } ight )=\frac { 2 } { 18 };P\left ( { A\mid B_{ 1 } } ight )=1-0,8=0,2;P\left ( { A\mid B_{ 2 } } ight )=1-0,7=0,3;P\left ( { A\mid B_{ 3 } } ight )=1-0,6=0,4; $ $ P\left ( { A\mid B_{ 4 } } ight )=1-0,5=0,5 $. Áp dụng công thức Bayes, ta có $ P\left ( { B_{ 1 } \mid A } ight )=\frac { P\left ( { B_{ 1 } } ight )\cdot P\left ( { A\mid B_{ 1 } } ight ) } { \sum \limits_{ i=1 } ^ 4 { P }\left ( { B_{ i } } ight )\cdot P\left ( { A\mid B_{ i } } ight ) }=\frac { \frac { 5 } { 18 }\cdot 0,2 } { \frac { 5 } { 18 }\cdot 0,2+\frac { 7 } { 18 }\cdot 0,3+\frac { 4 } { 18 }\cdot 0,4+\frac { 2 } { 18 }\cdot 0,5 }=\frac { 10 } { 57 } \ P\left ( { B_{ 2 } \mid A } ight )=\frac { P\left ( { B_{ 2 } } ight )\cdot P\left ( { A\mid B_{ 2 } } ight ) } { \sum \limits_{ i=1 } ^ 4 { P }\left ( { B_{ i } } ight )\cdot P\left ( { A\mid B_{ i } } ight ) }=\frac { \frac { 7 } { 18 }\cdot 0,3 } { \frac { 5 } { 18 }\cdot 0,2+\frac { 7 } { 18 }\cdot 0,3+\frac { 4 } { 18 }\cdot 0,4+\frac { 2 } { 18 }\cdot 0,5 }=\frac { 21 } { 57 } \ P\left ( { B_{ 3 } \mid A } ight )=\frac { P\left ( { B_{ 3 } } ight )\cdot P\left ( { A\mid B_{ 3 } } ight ) } { \sum \limits_{ i=1 } ^ 4 { P }\left ( { B_{ i } } ight )\cdot P\left ( { A\mid B_{ i } } ight ) }=\frac { \frac { 4 } { 18 }\cdot 0,4 } { \frac { 5 } { 18 }\cdot 0,2+\frac { 7 } { 18 }\cdot 0,3+\frac { 4 } { 18 }\cdot 0,4+\frac { 2 } { 18 }\cdot 0,5 }=\frac { 16 } { 57 } \ P\left ( { B_{ 4 } \mid A } ight )=\frac { P\left ( { B_{ 4 } } ight )\cdot P\left ( { A\mid B_{ 4 } } ight ) } { \sum \limits_{ i=1 } ^ 4 { P }\left ( { B_{ i } } ight )\cdot P\left ( { A\mid B_{ i } } ight ) }=\frac { \frac { 2 } { 18 }\cdot 0,5 } { \frac { 5 } { 18 }\cdot 0,2+\frac { 7 } { 18 }\cdot 0,3+\frac { 4 } { 18 }\cdot 0,4+\frac { 2 } { 18 }\cdot 0,5 }=\frac { 10 } { 57 } $ Vậy khả năng xạ thủ đó ở nhóm hai là cao nhất.

Bài tập nâng cao Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes · Bài 8