Thống kê ở năm học trước tại một trường Trung học phổ thông, trong số các học sinh đăng kí xét tuyển đại học, ở nguyện vọng 1 có $ 50\% $ học sinh đăng kí khối $ A,20\% $ học sinh đăng kí khối C và $ 30\% $ học sinh đăng kí các khối khác, với tỉ lệ đỗ nguyện vọng 1 lần lượt là $ 70\%,90\%,80\% $. Hãy tính tỉ lệ học sinh đỗ đại học nguyện vọng 1 ở khối A trong tổng số học sinh đỗ đại học nguyện vọng 1 nói trên.

Question

TÓM TẮT KIẾN THỨC Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu $ Ω $ và hai biến cố $ A,B $. Ta có công thức xác suất toàn phần như sau $ P(B)=P(A∩B)+P( \bar A∩B)=P(A)\cdot P(B\mid A)+P( \bar A)\cdot P(B\mid \bar A) $ Nếu có thêm giả thiết $ P(B)>0 $ thì ta có công thức Bayes sau đây: $ P(A\mid B)=\frac { P(A)\cdot P(B\mid A) } { P(A)\cdot P(B\mid A)+P( \bar A)\cdot P(B\mid \bar A) }=\frac { P(A)\cdot P(B\mid A) } { P(B) } $ Các biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ n } (n\in \mathbb{N},n\geq 2) $ được gọi là một nhóm đầy đủ nếu chúng đôi một xung khắc (tức là $ A_{ i } ∩A_{ j } =∅,∀i
eq j $) và đồng thời $ A_{ 1 } ∪A_{ 2 } ∪…∪A_{ n } =Ω $. Hai biến cố $ A $ và $ \bar A $ luôn tạo thành một nhóm đầy đủ. Hiển nhiên $ ∅ $ và $ Ω $ cũng tạo thành một nhóm đầy đủ, được gọi là nhóm đầy đủ tầm thường. Với một nhóm đầy đủ $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,A_{ 3 } ,…,A_{ n } $ và biến cố $ B $ ta luôn có $B=\bigcup_{k=1}^{n}(B\cap A_k)$ nên $ P(B)=\sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { B∩A_{ k } } ight ) $ (do các biến cố $ B∩A_{ 1 } ,…,B∩A_{ n } $ đôi một xung khắc). Áp dụng công thức nhân ta được $ P(B)=\sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { A_{ k } } ight )P\left ( { B\mid A_{ k } } ight ) $. Đây chính là công thức xác suất toàn phần (hay công thức xác suất đầy đủ) cho trường hợp tổng quát. Công thức xác suất toàn phần ta nêu ở đầu mục này chính là trường hợp $ n=2 $. Đến đây ta cũng thiết lập được công thức Bayes cho trường hợp tổng quát như sau (với giả thiết $ P(B)>0 $): $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight )=\frac { P\left ( { A_{ i } } ight )\cdot P\left ( { B\mid A_{ i } } ight ) } { P(B) }=\frac { P\left ( { A_{ i } } ight )\cdot P\left ( { B\mid A_{ i } } ight ) } { \sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { A_{ k } } ight )P\left ( { B\mid A_{ k } } ight ) };i=1,2,…,n $ Công thức Bayes giúp ta tính các xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight ) $ trong khi đã biết $ P\left ( { A_{ i } } ight ) $. Xác suất $ P\left ( { A_{ i } } ight ) $ được xác định từ trước nên thường được gọi là xác suất tiên nghiệm, còn xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight ) $ được xác định sau khi đã có kết quả thí nghiệm nào đó thể hiện qua sự xuất hiện của $ B $ nên được gọi là xác suất hậu nghiệm. Ý nghĩa của công thức Bayes: Một nhà nghiên cứu quan tâm đến xác suất xảy ra của biến cố $ A_{ i } $ và tính được xác suất $ P\left ( { A_{ i } } ight ) $. Sau đó, nhà nghiên cứu biết được thông tin rằng biến cố $ B $ đã xảy ra. Với thông tin mới này, nhà nghiên cứu sẽ cập nhật lại hiểu biết của mình về khả năng xảy ra của biến cố $ A_{ i } $ bằng cách tính xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight ) $ là xác suất xảy ra biến cố $ A_{ i } $ khi biến cố $ B $ đã xảy ra. Thống kê ở năm học trước tại một trường Trung học phổ thông, trong số các học sinh đăng kí xét tuyển đại học, ở nguyện vọng 1 có $ 50\% $ học sinh đăng kí khối $ A,20\% $ học sinh đăng kí khối C và $ 30\% $ học sinh đăng kí các khối khác, với tỉ lệ đỗ nguyện vọng 1 lần lượt là $ 70\%,90\%,80\% $. Hãy tính tỉ lệ học sinh đỗ đại học nguyện vọng 1 ở khối A trong tổng số học sinh đỗ đại học nguyện vọng 1 nói trên.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Chọn ngẫu nhiên một trong số các học sinh xét tuyển đại học. Xét các biến cố sau đây: $ A $: "Học sinh đăng kí xét tuyển đại học nguyện vọng 1 khối A ", $ C $: "Học sinh đăng kí xét tuyển đại học nguyện vọng 1 khối C ", $ B $: "Học sinh đăng kí xét tuyển đại học nguyện vọng 1 ở các khối khác", $ D $: "Học sinh đỗ đại học nguyện vọng 1". Theo bài ra ta có $ P(A)=0,5;\quad P(B)=0,3;\quad P(C)=0,2;\quad P(D\mid A)=0,7;\quad P(D\mid B)=0,8 $; $ P(D\mid C)=0,9 $. Áp dụng công thức Bayes ta có $ P(A\mid D)=\frac { P(A)\cdot P(D\mid A) } { P(A)\cdot P(D\mid A)+P(B)\cdot P(D\mid B)+P(C)\cdot P(D\mid C) }=\frac { 5 } { 11 }\approx 45,45\% $

Bài tập nâng cao Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes · Bài 9