Bài tập nâng cao · Bài 92
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 92
Tìm trên đồ thị $y=\frac{1}{x-1}$ điểm $M\left( a;\,b \right)$ sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tính giá trị $4a-b$ được kết quả bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $M\left( a;\,\frac{1}{a-1} \right)$ (với $a\neq 1$).
$y'=\frac{-1}{\left( x-1 \right)^2}\,(x\neq 1)\,\Leftrightarrow \,y'\left( a \right)=\frac{-1}{\left( a-1 \right)^2}$.
Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x-1}$ tại điểm $M\left( a;\,b \right)$.
Khi đó $\Delta$ có phương trình là: $y=-\frac{1}{\left( a-1 \right)^2}\left( x-a \right)+\frac{1}{a-1}$ $=-\frac{1}{\left( a-1 \right)^2}x+\frac{2a-1}{\left( a-1 \right)^2}$.
Tiếp tuyến $\Delta$ cắt trục $Ox$ tại điểm $A\left( 2a-1;\,0 \right)$, cắt trục $Oy$ tại điểm $B\left( 0;\,\frac{2a-1}{\left( a-1 \right)^2} \right)$.
Diện tích tam giác $OAB$ là: $S=\frac{1}{2}.OA.OB=2$ $\Leftrightarrow OA.OB=4\Leftrightarrow \left| 2a-1 \right|.\left| \frac{2a-1}{\left( a-1 \right)^2} \right|=4$
$\Leftrightarrow \left| \frac{\left( 2a-1 \right)^2}{\left( a-1 \right)^2} \right|=4\Leftrightarrow \frac{\left( 2a-1 \right)^2}{\left( a-1 \right)^2}=4\Leftrightarrow 4a=3\Leftrightarrow a=\frac{3}{4}$.
Suy ra $b=-4$.
Vậy $4a-b=4.\frac{3}{4}-\left( -4 \right)=7$.
$y'=\frac{-1}{\left( x-1 \right)^2}\,(x\neq 1)\,\Leftrightarrow \,y'\left( a \right)=\frac{-1}{\left( a-1 \right)^2}$.
Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x-1}$ tại điểm $M\left( a;\,b \right)$.
Khi đó $\Delta$ có phương trình là: $y=-\frac{1}{\left( a-1 \right)^2}\left( x-a \right)+\frac{1}{a-1}$ $=-\frac{1}{\left( a-1 \right)^2}x+\frac{2a-1}{\left( a-1 \right)^2}$.
Tiếp tuyến $\Delta$ cắt trục $Ox$ tại điểm $A\left( 2a-1;\,0 \right)$, cắt trục $Oy$ tại điểm $B\left( 0;\,\frac{2a-1}{\left( a-1 \right)^2} \right)$.
Diện tích tam giác $OAB$ là: $S=\frac{1}{2}.OA.OB=2$ $\Leftrightarrow OA.OB=4\Leftrightarrow \left| 2a-1 \right|.\left| \frac{2a-1}{\left( a-1 \right)^2} \right|=4$
$\Leftrightarrow \left| \frac{\left( 2a-1 \right)^2}{\left( a-1 \right)^2} \right|=4\Leftrightarrow \frac{\left( 2a-1 \right)^2}{\left( a-1 \right)^2}=4\Leftrightarrow 4a=3\Leftrightarrow a=\frac{3}{4}$.
Suy ra $b=-4$.
Vậy $4a-b=4.\frac{3}{4}-\left( -4 \right)=7$.