Bài tập nâng cao · Bài 91
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 91
Cho hàm số $y=\frac{-x+1}{2x-1}$ có đồ thị là $\left( C \right)$, đường thẳng $d:y=x+m$. Với mọi $m$ ta luôn có $d$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $A,B$. Gọi $k_1,\,k_2$ lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $A,B$. Tìm $m$ để tổng $k_1+k_2$ đạt giá trị lớn nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$ là
$\frac{-x+1}{2x-1}=x+m$ $\left\{ \begin{array}{l} x\neq \frac{1}{2} \\ g\left( x \right)=2x^2+2mx-m-1=0\,(*) \end{array} \right.$.
Theo định lí Viet ta có $x_1+x_2=-m;\,\ x_1x_2=\frac{-m-1}{2}$. Giả sử $A\left( x_1;y_1 \right),\,B\left( x_2;y_2 \right)$.
Ta có $y'=\frac{-1}{\left( 2x-1 \right)^2}$, nên tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$ có hệ số góc lần lượt là $k_1=-\frac{1}{\left( 2x_1-1 \right)^2}$ và $k_2=-\frac{1}{\left( 2x_2-1 \right)^2}$.
Vậy $k_1+k_2=-\frac{1}{(2x_1-1)^2}-\frac{1}{(2x_2-1)^2}=-\frac{4(x_1^2+x_2^2)-4(x_1+x_2)+2}{\left[ 4x_1x_2-2(x_1+x_2)+1 \right]^2}$
$=-\left( 4m^2+8m+6 \right)=-4\left( m+1 \right)^2-2\leq -2$
Dấu "=" xảy ra $m=-1$.
Vậy $k_1+k_2$ đạt giá trị lớn nhất bằng $-2$ khi $m=-1$.
$\frac{-x+1}{2x-1}=x+m$ $\left\{ \begin{array}{l} x\neq \frac{1}{2} \\ g\left( x \right)=2x^2+2mx-m-1=0\,(*) \end{array} \right.$.
Theo định lí Viet ta có $x_1+x_2=-m;\,\ x_1x_2=\frac{-m-1}{2}$. Giả sử $A\left( x_1;y_1 \right),\,B\left( x_2;y_2 \right)$.
Ta có $y'=\frac{-1}{\left( 2x-1 \right)^2}$, nên tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$ có hệ số góc lần lượt là $k_1=-\frac{1}{\left( 2x_1-1 \right)^2}$ và $k_2=-\frac{1}{\left( 2x_2-1 \right)^2}$.
Vậy $k_1+k_2=-\frac{1}{(2x_1-1)^2}-\frac{1}{(2x_2-1)^2}=-\frac{4(x_1^2+x_2^2)-4(x_1+x_2)+2}{\left[ 4x_1x_2-2(x_1+x_2)+1 \right]^2}$
$=-\left( 4m^2+8m+6 \right)=-4\left( m+1 \right)^2-2\leq -2$
Dấu "=" xảy ra $m=-1$.
Vậy $k_1+k_2$ đạt giá trị lớn nhất bằng $-2$ khi $m=-1$.