Bài tập nâng cao · Bài 90
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 90
Trên đồ thị của hàm số $y=\frac{3x}{x-2}$ có điểm $M\left( x_o;y_o \right),(x_o<0)$ sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng $\frac{3}{4}$. Khi đó $x_o+2y_o$ bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $y'=\frac{-6}{\left( x-2 \right)^2}$.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M(x_0;y_0)$: $y=\frac{-6}{\left( x_0-2 \right)^2}\left( x-x_0 \right)+\frac{3x_0}{x_0-2}$.
Tiếp tuyến giao với trục hoành tại $A\left( \frac{x_0^2}{2};0 \right)$, giao với trục tung tại $B\left( 0;\frac{3x_0^2}{\left( x_0-2 \right)^2} \right)$.
Theo đề: $S_{OAB}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| \frac{x_0^2}{2} \right|.\left| \frac{3x_0^2}{\left( x_0-2 \right)^2} \right|=\frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow x_0^4=\left( x_0-2 \right)^2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0^2-x_0+2=0\,(VN) \\ x_0^2+x_0-2=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0=1\,(l) \\ x_0=-2\,(n) \end{array} \right.$
Với $x_0=-2\Rightarrow y_0=\frac{3}{2}$
Khi đó $x_o+2y_o=1$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M(x_0;y_0)$: $y=\frac{-6}{\left( x_0-2 \right)^2}\left( x-x_0 \right)+\frac{3x_0}{x_0-2}$.
Tiếp tuyến giao với trục hoành tại $A\left( \frac{x_0^2}{2};0 \right)$, giao với trục tung tại $B\left( 0;\frac{3x_0^2}{\left( x_0-2 \right)^2} \right)$.
Theo đề: $S_{OAB}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| \frac{x_0^2}{2} \right|.\left| \frac{3x_0^2}{\left( x_0-2 \right)^2} \right|=\frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow x_0^4=\left( x_0-2 \right)^2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0^2-x_0+2=0\,(VN) \\ x_0^2+x_0-2=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0=1\,(l) \\ x_0=-2\,(n) \end{array} \right.$
Với $x_0=-2\Rightarrow y_0=\frac{3}{2}$
Khi đó $x_o+2y_o=1$