Bài tập nâng cao · Bài 89
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 89
Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}\,\left( C \right)$ và điểm $M\left( -\frac{9}{2};\,0 \right)$. Tìm trên $\left( C \right)$ cặp điểm $A\left( a;\,b \right),\,B\left( c;\,d \right)$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A,\,B$ song song với nhau và $\Delta MAB$ cân tại $M$ khi đó $a+b+c+d$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $y'=\frac{5}{\left( x+2 \right)^2}$
Do tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A,\,B$ song song với nhau nên
$y'\left( a \right)=\,y'\left( c \right)\Leftrightarrow \left( a+2 \right)^2=\,\left( c+2 \right)^2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=c\,\left( l \right) \\ a+c=-4 \end{array} \right.$
Gọi $I\left( x;\,y \right)$ là trung điểm $AB$, ta có $\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{a+c}{2}=-2 \\ y=\frac{2-\frac{5}{a+2}+2-\frac{5}{c+2}}{2}=\frac{4-\frac{5}{a+2}+\frac{5}{a+2}}{2}=2 \end{array} \right.$
Vậy $I\left( -2;\,2 \right)$, $\overrightarrow{AB}\left( c-a;\,\frac{5}{a+2}-\frac{5}{c+2}\, \right)=\left( c-a;\,\frac{5\left( c-a \right)}{\left( a+2 \right)\left( c+2 \right)} \right)$
$\overrightarrow{AB}=\left( c-a \right)\left( 1;\,\frac{-5}{(c+2)^2} \right)$.
Vì tam giác $\Delta MAB$ cân tại $M$
Nên ta có $\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{AB}=0\Leftrightarrow \frac{5}{2}-\frac{10}{\left( c+2 \right)^2}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c=0 \\ c=-4 \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} A\left( -4;\,\frac{9}{2} \right)\,,\,B\left( 0;\,\frac{-1}{2} \right) \\ \,A\left( 0;\,\frac{-1}{2} \right)\,,\,B\left( -4;\,\frac{9}{2} \right) \end{array} \right.$.
Vậy $a+b+c+d=0$.
Do tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A,\,B$ song song với nhau nên
$y'\left( a \right)=\,y'\left( c \right)\Leftrightarrow \left( a+2 \right)^2=\,\left( c+2 \right)^2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=c\,\left( l \right) \\ a+c=-4 \end{array} \right.$
Gọi $I\left( x;\,y \right)$ là trung điểm $AB$, ta có $\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{a+c}{2}=-2 \\ y=\frac{2-\frac{5}{a+2}+2-\frac{5}{c+2}}{2}=\frac{4-\frac{5}{a+2}+\frac{5}{a+2}}{2}=2 \end{array} \right.$
Vậy $I\left( -2;\,2 \right)$, $\overrightarrow{AB}\left( c-a;\,\frac{5}{a+2}-\frac{5}{c+2}\, \right)=\left( c-a;\,\frac{5\left( c-a \right)}{\left( a+2 \right)\left( c+2 \right)} \right)$
$\overrightarrow{AB}=\left( c-a \right)\left( 1;\,\frac{-5}{(c+2)^2} \right)$.
Vì tam giác $\Delta MAB$ cân tại $M$
Nên ta có $\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{AB}=0\Leftrightarrow \frac{5}{2}-\frac{10}{\left( c+2 \right)^2}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c=0 \\ c=-4 \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} A\left( -4;\,\frac{9}{2} \right)\,,\,B\left( 0;\,\frac{-1}{2} \right) \\ \,A\left( 0;\,\frac{-1}{2} \right)\,,\,B\left( -4;\,\frac{9}{2} \right) \end{array} \right.$.
Vậy $a+b+c+d=0$.