Bài tự luận · Bài 20
Dạng 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Bài tự luận Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 20
(KNTT10) Cho đường tròn $(C)$, đường thẳng $\Delta$ có phương trình lần lượt là: $(x-1)^2+(y+1)^2=2,x+y+2=0$.
a) Chứng minh rằng $\Delta$ là một tiếp tuyến của đường tròn $(C)$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$, biết rằng $d$ song song với đường thẳng $\Delta$.
a) Chứng minh rằng $\Delta$ là một tiếp tuyến của đường tròn $(C)$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$, biết rằng $d$ song song với đường thẳng $\Delta$.
Xem lời giải
Lời giải
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;-1)$ và có bán kính $R=\sqrt{2}$.
a) Khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $\Delta$ là $d(I,\Delta)=\frac{|1-1+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$.
Ta có $d(I,\Delta)=R$, do đó $\Delta$ là một tiếp tuyến của $(C)$.
b) Vì đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $\Delta$ nên phương trình đường thẳng $d$ có dạng $x+y+m=0$, trong đó $m\neq 2$.
$d$ là tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi $d(I,d)=R\Leftrightarrow \frac{|1-1+m|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow |m|=2\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m=2\\m=-2.\end{array}\right.$
Đối chiếu với điều kiện $m\neq 2$ ta được $m=-2$. Vậy phương trình của đường thẳng $d$ là $x+y-2=0$.
Lưu ý. Trong câu b, nếu không để ý đến điều kiện hai đường thẳng song song thì ta có thể sẽ không loại được trường hợp tiếp tuyến trùng với $\Delta$.
a) Khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $\Delta$ là $d(I,\Delta)=\frac{|1-1+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$.
Ta có $d(I,\Delta)=R$, do đó $\Delta$ là một tiếp tuyến của $(C)$.
b) Vì đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $\Delta$ nên phương trình đường thẳng $d$ có dạng $x+y+m=0$, trong đó $m\neq 2$.
$d$ là tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi $d(I,d)=R\Leftrightarrow \frac{|1-1+m|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow |m|=2\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m=2\\m=-2.\end{array}\right.$
Đối chiếu với điều kiện $m\neq 2$ ta được $m=-2$. Vậy phương trình của đường thẳng $d$ là $x+y-2=0$.
Lưu ý. Trong câu b, nếu không để ý đến điều kiện hai đường thẳng song song thì ta có thể sẽ không loại được trường hợp tiếp tuyến trùng với $\Delta$.