Bài tự luận · Bài 16
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 16
Một sao chổi chuyển động theo quỹ đạo parabol nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là $10^{6}$ km. Lập phương trình chính tắc của quỹ đạo theo đơn vị kilômét. Hỏi khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, thì khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là bao nhiêu kilômét?
Xem lời giải
Lời giải
Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.
Gọi phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là $y^{2} =2px(p>0)$.
Giả sử sao chổi có toạ độ là $M(x;y)$.
Khi đó khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là $MF=x+\frac{p}{2}\geq \frac{p}{2}$.
Do đó khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là $\frac{p}{2} \Rightarrow \frac{p}{2}=10^{6}\Rightarrow p=2\cdot 10^{6}.$
Vậy phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là $y^{2}=4\cdot 10^{6}x$.
Khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, tức điểm $M$ nằm trên đường thẳng $x=\frac{p}{2}$ thì $M$ có hoành độ là $x=\frac{p}{2}=10^{6}$
$\Rightarrow$ Khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là: $MF=x+\frac{p}{2}=10^{6}+10^{6}=2\cdot 10^{6}(\text{km})$
Gọi phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là $y^{2} =2px(p>0)$.
Giả sử sao chổi có toạ độ là $M(x;y)$.
Khi đó khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là $MF=x+\frac{p}{2}\geq \frac{p}{2}$.
Do đó khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là $\frac{p}{2} \Rightarrow \frac{p}{2}=10^{6}\Rightarrow p=2\cdot 10^{6}.$
Vậy phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là $y^{2}=4\cdot 10^{6}x$.
Khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, tức điểm $M$ nằm trên đường thẳng $x=\frac{p}{2}$ thì $M$ có hoành độ là $x=\frac{p}{2}=10^{6}$
$\Rightarrow$ Khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là: $MF=x+\frac{p}{2}=10^{6}+10^{6}=2\cdot 10^{6}(\text{km})$