Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý không thuộc các đường thẳng $AB, BC, CA$. Gọi $A', B', C'$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm $I, K, J$ của các cạnh $BC, CA, AB$. Chứng minh rằng
a) Ba đường thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$ đồng quy.
b) Đường thẳng $MM_1$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di động.

Question

DẠNG 6: THẲNG HÀNG, CỐ ĐỊNH, ĐỒNG QUI - Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ - Hai đường thẳng $AB$ và $MN$ song song khi $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{MN}$ và điểm $A$ không thuộc đường thẳng $MN$ Chú ý: Việc chọn cơ sở để biểu diễn là 2 véc- tơ cùng gốc và không cùng phương Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý không thuộc các đường thẳng $AB, BC, CA$. Gọi $A', B', C'$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm $I, K, J$ của các cạnh $BC, CA, AB$. Chứng minh rằng a) Ba đường thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$ đồng quy. b) Đường thẳng $MM_1$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di động.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{KJ}$ và $\overrightarrow{B'A'}=2\overrightarrow{KJ} \Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B'A'}$. Vậy $ABA'B'$ là hình bình hành, nên $AA'$ và $BB'$ cắt nhau tại trung điểm chung $M_1$ của chúng. Tương tự, $BB'$ và $CC'$ cũng cắt nhau tại trung điểm chung $M_1$ của chúng. b) Ta có $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA'}$ và $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA'}=2\overrightarrow{MM_1}$. Suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MM_1}=3\overrightarrow{MG}$ ($G$ là trọng tâm $	riangle ABC$), hay $\overrightarrow{MM_1}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MG}$. Nên $M, M_1, G$ thẳng hàng. Vậy đường thẳng $MM_1$ luôn đi qua điểm $G$ cố định khi $M$ di động.

Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 53