Bài tập nâng cao · Bài 52
DẠNG 6: THẲNG HÀNG, CỐ ĐỊNH, ĐỒNG QUI - Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ - Hai đường thẳng $AB$ và $MN$ song song khi $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{MN}$ và điểm $A$ không thuộc đường thẳng $MN$ Chú ý: Việc chọn cơ sở để biểu diễn là 2 véc- tơ cùng gốc và không cùng phương
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 52
Cho tam giác $ABC$. Dựng $\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA'}=\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{CA}$. Chứng minh các đường thẳng $AA'$, $BB'$ và $CC'$ đồng quy.
Xem lời giải
Lời giải
Từ $\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{CA}$, ta có
$\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$.
Suy ra $A$ là trung điểm của $B'C'$, nên $AA'$ chứa trung tuyến của tam giác $A'B'C'$ xuất phát từ đỉnh $A'$.
Tương tự, $B$ là trung điểm của $C'A'$ và $C$ là trung điểm của $A'B'$, nên $BB'$ và $CC'$ chứa hai trung tuyến còn lại. Do đó $AA'$, $BB'$, $CC'$ đồng quy tại trọng tâm $G$ của tam giác $A'B'C'$.
$\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$.
Suy ra $A$ là trung điểm của $B'C'$, nên $AA'$ chứa trung tuyến của tam giác $A'B'C'$ xuất phát từ đỉnh $A'$.
Tương tự, $B$ là trung điểm của $C'A'$ và $C$ là trung điểm của $A'B'$, nên $BB'$ và $CC'$ chứa hai trung tuyến còn lại. Do đó $AA'$, $BB'$, $CC'$ đồng quy tại trọng tâm $G$ của tam giác $A'B'C'$.