Bài tập nâng cao · Bài 51
DẠNG 6: THẲNG HÀNG, CỐ ĐỊNH, ĐỒNG QUI - Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ - Hai đường thẳng $AB$ và $MN$ song song khi $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{MN}$ và điểm $A$ không thuộc đường thẳng $MN$ Chú ý: Việc chọn cơ sở để biểu diễn là 2 véc- tơ cùng gốc và không cùng phương
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 51
Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Gọi I là trung điểm của $AM$ và $K$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AK=\frac{1}{3}AC$. Chứng minh ba điểm $B, I, K$ thẳng hàng.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{BA}$; $\vec{v}=\overrightarrow{BC}$, ta có:
$\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}$
$=\vec{u}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
$=\vec{u}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})$
$=\vec{u}+\frac{1}{3}(\vec{v}-\vec{u})=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}$.
Và
$\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BM})=\frac{1}{2}(\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v})=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{4}\vec{v}$.
Do đó $3\overrightarrow{BK}=4\overrightarrow{BI}$ nên $\overrightarrow{BK}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BI}$.
Vậy ba điểm $B, I, K$ thẳng hàng.
$\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}$
$=\vec{u}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
$=\vec{u}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})$
$=\vec{u}+\frac{1}{3}(\vec{v}-\vec{u})=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}$.
Và
$\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BM})=\frac{1}{2}(\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v})=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{4}\vec{v}$.
Do đó $3\overrightarrow{BK}=4\overrightarrow{BI}$ nên $\overrightarrow{BK}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BI}$.
Vậy ba điểm $B, I, K$ thẳng hàng.