DẠNG 6: THẲNG HÀNG, CỐ ĐỊNH, ĐỒNG QUI
- Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$
- Hai đường thẳng $AB$ và $MN$ song song khi $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{MN}$ và điểm $A$ không thuộc đường thẳng $MN$
Chú ý: Việc chọn cơ sở để biểu diễn là 2 véc- tơ cùng gốc và không cùng phương
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 50
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$, $H$ là trực tâm của tam giác, $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$.
a) Chứng minh tứ giác $HCDB$ là hình bình hành.
b) Chứng minh $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$; $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$. Suy ra ba điểm $O, H, G$ thẳng hàng ($G$ là trọng tâm tam giác $ABC$).
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $AD$ là đường kính của đường tròn tâm O nên $BD \perp AB$, $DC \perp AC$. Ta có:
$\left\{\begin{array}{l}CH \perp AB\\BH \perp AC\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}CH \parallel BD\\BH \parallel DC\end{array}\right.$.
Vậy tứ giác $HCDB$ là hình bình hành.
b)
Vì $HCDB$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}$.
Do đó, $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}=2\overrightarrow{HO}$.
Theo quy tắc ba điểm:
$\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{HO}$.
Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$.
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên:
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG} \Rightarrow \overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$.
Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.
