Bài tập nâng cao · Bài 24

DẠNG 3. TÌM THIẾT DIỆN I. Phương pháp tìm thiết diện [IMAGE:question_images/11-10. DUONG THANG, MP TRONG KG/F. BAI TAP NANG CAO/image499.png] Thiết diện của hình $(H)$ và hình $(Q)$ là phần chung nhau giữa 2 hình đó. Thiết diện của mặt phẳng $(\alpha )$ với hình chóp $(H)$ là phần chung giữa mặt phẳng $(\alpha )$ và hình chóp $(H)$. Đặc điểm - Thiết diện là đa giác kín. - Các cạnh của thiết diện nằm trên các mặt của hình chóp. - Cạnh của thiết diện được hình thành từ những đoạn giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của hình chóp. - Trong giới hạn hình chóp thì Thiết diện có thể cắt hoặc không cắt tất cả các mặt của hình chóp. Phương pháp tìm thiết diện - Xác định điểm chung có sẵn. - Từ các điểm chung có sẵn ta xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt chứa điểm chung đó. - Từ giao tuyến đó ta xác định đoạn giao tuyến bằng cách tìm giao điểm của giao tuyến với các cạnh của mặt phẳng đó. - Từ giao tuyến tìm được ta tiến hành tìm giao tuyến và các đoạn giao tuyến còn lại cho đến khi được 1 hình kín.

Bài tập nâng cao Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian · Bài 24

Xem lời giải

Lời giải

a) Theo hình vẽ ta có:
Trong $mp\left( ABC \right)$: $ME$ giao $AC$ tại $I$.
Trong $mp\left( ABD \right)$: $MF$ giao $AD$ tại $J$.
Từ đó thiết diện của tứ diện với $mp\left( MEF \right)$ là tam giác $MIJ$.
b) Theo cách dựng thì $I$ và $J$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABE$ và $ABF$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AI=\frac{2}{3}AC=\frac{2a}{3} \\ AJ=\frac{2}{3}AD=\frac{2a}{3} \end{array} \right.$
$\Rightarrow$ Tam giác $AIJ$ đều $\Rightarrow IJ=\frac{2a}{3}$.
Do $AI=AJ$ nên $\Delta AMI=\Delta AMJ\Rightarrow MI=MJ$
Trong $\Delta AMI:MI=\sqrt{MA^{2}+IA^{2}-2MA.IA\cos A}=\frac{a\sqrt{13}}{6}$
$S_{\Delta MIJ}=\frac{1}{2}.\frac{2a}{3}.\sqrt{\left( \frac{a\sqrt{13}}{6} \right)^{2}-\left( \frac{a}{3} \right)^{2}}=\frac{a^{2}}{6}$