Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật $ABCD$ với độ dài $AB=200$ m, $AD=180$ m, người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên bờ $AB$ và cách đỉnh $A$ khoảng cách $20$ m, cột thứ tư nằm trên bờ $CD$ và cách đỉnh $C$ khoảng cách $30$ m. Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ $AB,AD$.
Xem lời giải
Lời giải
Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho $A(0;0),B(200;0),C(200;180),D(0;180)$. Gọi vị trí các cột điện được trồng là $C_1,C_2,C_3,C_4$.
Do $C_1$ thuộc cạnh $AB$ và $AC_1=20$ nên $C_1(20;0)$, do $C_4$ thuộc cạnh $CD$ và $C_4C=30$ nên $C_4(170;180)$.
Suy ra $\overrightarrow{C_1C_4}=(150;180)$. (1)
Do bốn cột điện $C_1,C_2,C_3,C_4$ được trồng liên tiếp, cách đều trên một đường thẳng, nên $\overrightarrow{C_1C_2}=\dfrac13\overrightarrow{C_1C_4}$ và $\overrightarrow{C_1C_3}=\dfrac23\overrightarrow{C_1C_4}$.
Gọi toạ độ của $C_2$ đối với hệ trục đang xét là $(x;y)$. Khi đó $\overrightarrow{C_1C_2}=(x-20;y)$.
Từ đó và (1), do $\overrightarrow{C_1C_2}=\dfrac13\overrightarrow{C_1C_4}$ nên $\left\{\begin{array}{l}x-20=\dfrac{150}{3}=50\\y=\dfrac{180}{3}=60.\end{array}\right.$
Suy ra $x=70,y=60$, tức là $C_2(70;60)$.
Khi đó $d(C_2;AB)=d(C_2;Ox)=60$ m và $d(C_2;AD)=d(C_2;Oy)=70$ m.
Hoàn toàn tương tự, cũng được $d(C_3;AB)=120$ m, $d(C_3;AD)=120$ m.
