Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) $y=2x\sin x.$
b) $y=\cos x+\sin 2x.$
c) $y=\frac{\cos 2x}{x}.$
d) $y=\tan^{7}2x.\sin 5x.$

Question

DẠNG 3. TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số, khi đó $*$ Nếu $D$ là tập đối xứng (tức $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$), thì ta thực hiện tiếp bước 2. $*$ Nếu $D$ không phải tập đối xứng(tức là $\exists x\in D$ mà $-x
otin D$) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ. Bước 2: Xác định $f\left( -x ight)$: $*$ Nếu $f\left( -x ight)=f\left( x ight),\forall x\in D$ thì kết luận hàm số là hàm số chẵn. $*$ Nếu $f\left( -x ight)=-f\left( x ight),\forall x\in D$ thì kết luận hàm số là hàm số lẻ. $*$ Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ. Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản: 1, Hàm số $y=\sin x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}$. 2, Hàm số $y=\cos x$ là hàm số chẵn trên $D=\mathbb{R}$. 3, Hàm số $y=	an x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} \frac{\pi}{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \end{array} ight\}$. 4, Hàm số $y=\cot x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \end{array} ight\}$. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau a) $y=2x\sin x.$ b) $y=\cos x+\sin 2x.$ c) $y=\frac{\cos 2x}{x}.$ d) $y=	an^{7}2x.\sin 5x.$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,\,\,\left( 1 ight).$ Đặt $y=f\left( x ight)=2x\sin x.$ NX: $\forall x\in D$, $f\left( -x ight)=2\left( -x ight)\sin \left( -x ight)=2x\sin x=f\left( x ight)\,\,\,\left( 2 ight).$ Từ $\left( 1 ight)$ và $\left( 2 ight)$ ta kết luận hàm số đã cho là hàm số chẵn. b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$ Đặt $y=f\left( x ight)=\cos x+\sin 2x.$ Xét $x=\frac{\pi}{3}\in D\,\Rightarrow \,-x=-\frac{\pi}{3}\in D$. $f\left( \frac{\pi}{3} ight)=\cos \frac{\pi}{3}+\sin \frac{2\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$. $f\left( -\frac{\pi}{3} ight)=\cos \left( -\frac{\pi}{3} ight)+\sin \left( -\frac{2\pi}{3} ight)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta thấy $f\left( \frac{\pi}{3} ight)
eq f\left( -\frac{\pi}{3} ight)$ nên hàm số đã cho không là hàm số chẵn Và $-f\left( \frac{\pi}{3} ight)
eq f\left( -\frac{\pi}{3} ight)$ nên hàm số đã cho không là hàm số lẻ. c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ 0 ight\}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$ Đặt $y=f\left( x ight)=\frac{\cos 2x}{x}.$ Ta có $\forall x\in D$: $f\left( -x ight)=\frac{\cos \left( -2x ight)}{-x}=-\frac{\cos \left( 2x ight)}{x}=-f\left( x ight).$ Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ. d) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\mid k\in \mathbb{Z} ight\}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$ Đặt $y=f\left( x ight)=	an^{7}2x.\sin 5x.$ Ta có $\forall x\in D$: $f\left( -x ight)=	an^{7}\left( -2x ight)\sin \left( -5x ight)=	an^{7}\left( 2x ight)\sin \left( 5x ight)=f\left( x ight).$ Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn. Chú ý: Đôi khi người ta còn phát biểu bài toán dưới dạng: Với câu a) Chứng minh đồ thị hàm số $y=2x\sin x$ nhận trục tung làm trục đối xứng. Với câu c) Chứng minh đồ thị hàm số $y=\frac{\cos 2x}{x}$ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

Bài tập nâng cao Hàm số lượng giác · Bài 10