Bài tự luận · Bài 28
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 28
Một vật nặng có khối lượng $m$ được kéo dọc theo mặt phẳng nằm ngang nhờ một sợi dây hợp với phương ngang một góc $\theta$. Trong Vật lí, ta biết rằng lực kéo $F$ cần thiết để di chuyển vật được cho bởi công thức
$F=\frac{cmg}{c\sin\theta+\cos\theta}$, trong đó $g$ là gia tốc trọng trường và $c$ là hệ số ma sát của bề mặt (Theo Sullivan and Miranda, Calculus, W.H. Freeman and Company, 2014). Chứng tỏ rằng lực kéo $F$ nhỏ nhất khi $\tan\theta=c$.
$F=\frac{cmg}{c\sin\theta+\cos\theta}$, trong đó $g$ là gia tốc trọng trường và $c$ là hệ số ma sát của bề mặt (Theo Sullivan and Miranda, Calculus, W.H. Freeman and Company, 2014). Chứng tỏ rằng lực kéo $F$ nhỏ nhất khi $\tan\theta=c$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $0\leq\theta<90^\circ$.
Ta có $F'(\theta)=\frac{-cmg(c\cos\theta-\sin\theta)}{(c\sin\theta+\cos\theta)^2};\ F'(\theta)=0\Leftrightarrow c\cos\theta-\sin\theta=0\Leftrightarrow\tan\theta=c$.
Giả sử $\theta=\theta_0$ thoả mãn $\tan\theta_0=c$.
Khi $0\leq\theta<\theta_0$ thì $F'(\theta)<0$, khi $\theta_0<\theta<90^\circ$ thì $F'(\theta)>0$. Do đó lực kéo $F$ nhỏ nhất tại $\theta=\theta_0$ tức là khi $\tan\theta=c$.
Ta có $F'(\theta)=\frac{-cmg(c\cos\theta-\sin\theta)}{(c\sin\theta+\cos\theta)^2};\ F'(\theta)=0\Leftrightarrow c\cos\theta-\sin\theta=0\Leftrightarrow\tan\theta=c$.
Giả sử $\theta=\theta_0$ thoả mãn $\tan\theta_0=c$.
Khi $0\leq\theta<\theta_0$ thì $F'(\theta)<0$, khi $\theta_0<\theta<90^\circ$ thì $F'(\theta)>0$. Do đó lực kéo $F$ nhỏ nhất tại $\theta=\theta_0$ tức là khi $\tan\theta=c$.