Bài tự luận · Bài 21
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 21
Trong một trò chơi, người chơi gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất liên tiếp 18 lần một cách độc lập. Người chơi thắng cuộc nếu có ít nhất 3 lần xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm. Gọi $ X $ là số lần xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.
a) Gọi tên phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên $ X $.
b) Tính xác suất để người chơi thắng cuộc.
c) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của $ X $.
a) Gọi tên phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên $ X $.
b) Tính xác suất để người chơi thắng cuộc.
c) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của $ X $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Phép thử $ T $ là: "Gieo con xúc xắc cân đối, đồng chất". E là biến cố: "Con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm".
Ta có $ P(E)=\frac { 1 } { 6 } $. X là số lần xuất hiện biến cố $ E $ trong 18 lần thực hiện lặp lại phép thử $ T $ một cách độc lập. Theo Nhận xét (sau HĐ2), khi đó $ X $ là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với $ n=18;p=\frac { 1 } { 6 } $.
b) Gọi $ E $ là biến cố "Người chơi thắng". Ta có $ E=\{X\geq 3\} $.
Biến cố đối $ \bar E $: "Người chơi thua cuộc" là biến cố $ \{X\leq 2\} $.
Theo chú ý về phân bố nhị thức, ta có: $ P(X\leq 2)=\left ( { \frac { 5 } { 6 } } \right ) ^ { 18 } +C_{ 18 } ^{ 1 }\cdot \frac { 1 } { 6 }\cdot \left ( { \frac { 5 } { 6 } } \right ) ^ { 17 } +C_{ 18 } ^{ 2 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 6 } } \right ) ^ { 2 } \cdot \left ( { \frac { 5 } { 6 } } \right ) ^ { 16 } $
Do đó
$ P(E)=1-P( \bar E)=1-\left ( { \frac { 5 } { 6 } } \right ) ^ { 18 } -C_{ 18 } ^{ 1 }\cdot \frac { 1 } { 6 }\cdot \left ( { \frac { 5 } { 6 } } \right ) ^ { 17 } -C_{ 18 } ^{ 2 }\left ( { \frac { 1 } { 6 } } \right ) ^ { 2 } \cdot \left ( { \frac { 5 } { 6 } } \right ) ^ { 16 } \\ =1-\frac { 5 ^ { 18 } } { 6 ^ { 18 } }-\frac { 18\cdot 5 ^ { 17 } } { 6 ^ { 18 } }-\frac { 153\cdot 5 ^ { 16 } } { 6 ^ { 18 } }=\frac { 6 ^ { 18 } -5 ^ { 18 } -18\cdot 5 ^ { 17 } -153\cdot 5 ^ { 16 } } { 6 ^ { 18 } }\approx 0,5973 $
c) Áp dụng công thức tính $ E(X) $ và $ V(X) $ ta có:
$ E(X)=n\cdot p=18\cdot \frac { 1 } { 6 }=3;\ V(X)=n\cdot p(1-p)=18\cdot \frac { 1 } { 6 }\cdot \frac { 5 } { 6 }=2,5;\ \sigma(X)=\sqrt[] { 2,5 }\approx 1,5811 $
Ta có $ P(E)=\frac { 1 } { 6 } $. X là số lần xuất hiện biến cố $ E $ trong 18 lần thực hiện lặp lại phép thử $ T $ một cách độc lập. Theo Nhận xét (sau HĐ2), khi đó $ X $ là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với $ n=18;p=\frac { 1 } { 6 } $.
b) Gọi $ E $ là biến cố "Người chơi thắng". Ta có $ E=\{X\geq 3\} $.
Biến cố đối $ \bar E $: "Người chơi thua cuộc" là biến cố $ \{X\leq 2\} $.
Theo chú ý về phân bố nhị thức, ta có: $ P(X\leq 2)=\left ( { \frac { 5 } { 6 } } \right ) ^ { 18 } +C_{ 18 } ^{ 1 }\cdot \frac { 1 } { 6 }\cdot \left ( { \frac { 5 } { 6 } } \right ) ^ { 17 } +C_{ 18 } ^{ 2 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 6 } } \right ) ^ { 2 } \cdot \left ( { \frac { 5 } { 6 } } \right ) ^ { 16 } $
Do đó
$ P(E)=1-P( \bar E)=1-\left ( { \frac { 5 } { 6 } } \right ) ^ { 18 } -C_{ 18 } ^{ 1 }\cdot \frac { 1 } { 6 }\cdot \left ( { \frac { 5 } { 6 } } \right ) ^ { 17 } -C_{ 18 } ^{ 2 }\left ( { \frac { 1 } { 6 } } \right ) ^ { 2 } \cdot \left ( { \frac { 5 } { 6 } } \right ) ^ { 16 } \\ =1-\frac { 5 ^ { 18 } } { 6 ^ { 18 } }-\frac { 18\cdot 5 ^ { 17 } } { 6 ^ { 18 } }-\frac { 153\cdot 5 ^ { 16 } } { 6 ^ { 18 } }=\frac { 6 ^ { 18 } -5 ^ { 18 } -18\cdot 5 ^ { 17 } -153\cdot 5 ^ { 16 } } { 6 ^ { 18 } }\approx 0,5973 $
c) Áp dụng công thức tính $ E(X) $ và $ V(X) $ ta có:
$ E(X)=n\cdot p=18\cdot \frac { 1 } { 6 }=3;\ V(X)=n\cdot p(1-p)=18\cdot \frac { 1 } { 6 }\cdot \frac { 5 } { 6 }=2,5;\ \sigma(X)=\sqrt[] { 2,5 }\approx 1,5811 $