Bài tập nâng cao · Bài 12
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nâng lên lũy thừa, trị tuyệt đối hóa, sử dụng bất đẳng thức, đưa về phương trình tích, đặt ẩn phụ. Phương trình có dạng Đặt ẩn phụ $\sqrt{ax+b}, x, x^2, \ldots$ $t=\sqrt{ax+b}, t \geq 0$ $\sqrt{ax^2+bx+c}, ax^2+bx, \ldots$ $t=\sqrt{ax^2+bx+c}, t \geq 0$ $\sqrt[3]{ax+b}, ax+b, \ldots$ $t=\sqrt[3]{ax+b}$ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} \\ \sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{g(x)}\end{array}\right., f(x)+g(x)=C$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)}$ $\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}, f(x)+\frac{A^2}{f(x)}$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}$ $\sqrt[m]{f(x)}, \sqrt[n]{f(x)}$ $t=\sqrt[s]{f(x)}$ với $s$ là bội chung nhỏ nhất của $m$ và $n$
Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 12
Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}+x}$.
b) $2\sqrt{x+3}=9x^2-x-4$.
a) $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}+x}$.
b) $2\sqrt{x+3}=9x^2-x-4$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Điều kiện: $0 \leq x \leq \sqrt{3}$.
Với điều kiện trên, phương trình tương đương với
$x^3+\sqrt{3}x^2+x-\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow \left(x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3=\frac{10}{3\sqrt{3}} \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt[3]{10}-1}{\sqrt{3}}$.
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x=\frac{\sqrt[3]{10}-1}{\sqrt{3}}$.
b) Điều kiện: $x \geq -3$.
Với điều kiện trên, phương trình tương đương với
$(1+\sqrt{x+3})^2=9x^2 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sqrt{x+3}+1=3x \\ \sqrt{x+3}+1=-3x\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=\frac{-5-\sqrt{97}}{18}\end{array}\right.$.
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x=1$, $x=\frac{-5-\sqrt{97}}{18}$.
Với điều kiện trên, phương trình tương đương với
$x^3+\sqrt{3}x^2+x-\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow \left(x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3=\frac{10}{3\sqrt{3}} \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt[3]{10}-1}{\sqrt{3}}$.
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x=\frac{\sqrt[3]{10}-1}{\sqrt{3}}$.
b) Điều kiện: $x \geq -3$.
Với điều kiện trên, phương trình tương đương với
$(1+\sqrt{x+3})^2=9x^2 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sqrt{x+3}+1=3x \\ \sqrt{x+3}+1=-3x\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=\frac{-5-\sqrt{97}}{18}\end{array}\right.$.
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x=1$, $x=\frac{-5-\sqrt{97}}{18}$.