Bài tập nâng cao · Bài 13
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nâng lên lũy thừa, trị tuyệt đối hóa, sử dụng bất đẳng thức, đưa về phương trình tích, đặt ẩn phụ. Phương trình có dạng Đặt ẩn phụ $\sqrt{ax+b}, x, x^2, \ldots$ $t=\sqrt{ax+b}, t \geq 0$ $\sqrt{ax^2+bx+c}, ax^2+bx, \ldots$ $t=\sqrt{ax^2+bx+c}, t \geq 0$ $\sqrt[3]{ax+b}, ax+b, \ldots$ $t=\sqrt[3]{ax+b}$ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} \\ \sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{g(x)}\end{array}\right., f(x)+g(x)=C$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)}$ $\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}, f(x)+\frac{A^2}{f(x)}$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}$ $\sqrt[m]{f(x)}, \sqrt[n]{f(x)}$ $t=\sqrt[s]{f(x)}$ với $s$ là bội chung nhỏ nhất của $m$ và $n$
Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 13
Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2$.
b) $\sqrt{x+\sqrt{2x-5}-2}+\sqrt{x-3\sqrt{2x-5}+2}=2\sqrt{2}$.
a) $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2$.
b) $\sqrt{x+\sqrt{2x-5}-2}+\sqrt{x-3\sqrt{2x-5}+2}=2\sqrt{2}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có:
$\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{3\left(x^2+2x+1+\frac{4}{3}\right)}+\sqrt{5\left(x^2+2x+1+\frac{9}{5}\right)}=-\left(x^2+2x+1\right)+5$
$\Leftrightarrow \sqrt{3(x+1)^2+4}+\sqrt{5(x+1)^2+9}=5-(x+1)^2 \ (1)$.
Phương trình $(1)$ có $\left\{\begin{array}{l}VT \geq \sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5 \\ VP \leq 5\end{array}\right.$. Do đó $(1) \Leftrightarrow (x+1)^2=0 \Leftrightarrow x=-1$.
Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\{-1\}$.
b) Ta có:
$\sqrt{x+\sqrt{2x-5}-2}+\sqrt{x-3\sqrt{2x-5}+2}=2\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sqrt{2x-5}+1)^2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sqrt{2x-5}-3)^2}=2\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}+1+|\sqrt{2x-5}-3|=4 \ (2)$.
Do $|3-\sqrt{2x-5}| \geq 3-\sqrt{2x-5}$ nên
$4=|3-\sqrt{2x-5}|+\sqrt{2x-5}+1 \geq 3-\sqrt{2x-5}+\sqrt{2x-5}+1=4$.
Vậy $(2) \Leftrightarrow 3-\sqrt{2x-5} \geq 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2x-5 \geq 0 \\ 9 \geq 2x-5\end{array}\right. \Leftrightarrow \frac{5}{2} \leq x \leq 7$.
Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left[\frac{5}{2};7\right]$.
$\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{3\left(x^2+2x+1+\frac{4}{3}\right)}+\sqrt{5\left(x^2+2x+1+\frac{9}{5}\right)}=-\left(x^2+2x+1\right)+5$
$\Leftrightarrow \sqrt{3(x+1)^2+4}+\sqrt{5(x+1)^2+9}=5-(x+1)^2 \ (1)$.
Phương trình $(1)$ có $\left\{\begin{array}{l}VT \geq \sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5 \\ VP \leq 5\end{array}\right.$. Do đó $(1) \Leftrightarrow (x+1)^2=0 \Leftrightarrow x=-1$.
Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\{-1\}$.
b) Ta có:
$\sqrt{x+\sqrt{2x-5}-2}+\sqrt{x-3\sqrt{2x-5}+2}=2\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sqrt{2x-5}+1)^2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sqrt{2x-5}-3)^2}=2\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}+1+|\sqrt{2x-5}-3|=4 \ (2)$.
Do $|3-\sqrt{2x-5}| \geq 3-\sqrt{2x-5}$ nên
$4=|3-\sqrt{2x-5}|+\sqrt{2x-5}+1 \geq 3-\sqrt{2x-5}+\sqrt{2x-5}+1=4$.
Vậy $(2) \Leftrightarrow 3-\sqrt{2x-5} \geq 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2x-5 \geq 0 \\ 9 \geq 2x-5\end{array}\right. \Leftrightarrow \frac{5}{2} \leq x \leq 7$.
Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left[\frac{5}{2};7\right]$.