Bài tập nâng cao · Bài 14
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nâng lên lũy thừa, trị tuyệt đối hóa, sử dụng bất đẳng thức, đưa về phương trình tích, đặt ẩn phụ. Phương trình có dạng Đặt ẩn phụ $\sqrt{ax+b}, x, x^2, \ldots$ $t=\sqrt{ax+b}, t \geq 0$ $\sqrt{ax^2+bx+c}, ax^2+bx, \ldots$ $t=\sqrt{ax^2+bx+c}, t \geq 0$ $\sqrt[3]{ax+b}, ax+b, \ldots$ $t=\sqrt[3]{ax+b}$ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} \\ \sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{g(x)}\end{array}\right., f(x)+g(x)=C$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)}$ $\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}, f(x)+\frac{A^2}{f(x)}$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}$ $\sqrt[m]{f(x)}, \sqrt[n]{f(x)}$ $t=\sqrt[s]{f(x)}$ với $s$ là bội chung nhỏ nhất của $m$ và $n$
Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 14
Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-2}=x+3$.
b) $(x+3)\sqrt{2x^2+1}=x^2+x+3$.
a) $\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-2}=x+3$.
b) $(x+3)\sqrt{2x^2+1}=x^2+x+3$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}2x+1 \geq 0 \\ x-2 \geq 0\end{array}\right. \Leftrightarrow x \geq 2$.
Nhận thấy $(2x+1)-(x-2)=x+3$ nên ta nhân liên hợp vế trái của phương trình, ta được
$\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-2}=x+3 \Leftrightarrow \frac{x+3}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-2}}=x+3$
$\Leftrightarrow (x+3)(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-2}-1)=0$.
Phương trình vô nghiệm với mọi $x \geq 2$.
b) Ta thấy $x=-3$ không là nghiệm của phương trình.
Xét $x \neq -3$. Phương trình tương đương với
$\sqrt{2x^2+1}=\frac{x^2+x+3}{x+3} \Leftrightarrow \sqrt{2x^2+1}-1=\frac{x^2}{x+3}$
$\Leftrightarrow \frac{2x^2}{\sqrt{2x^2+1}+1}=\frac{x^2}{x+3} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0 \\ 2(x+3)=\sqrt{2x^2+1}+1 \ (*)\end{array}\right.$.
Phương trình $(*) \Leftrightarrow \sqrt{2x^2+1}=2x+5 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -\frac{5}{2} \\ 2x^2+1=4x^2+20x+25\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -\frac{5}{2} \\ x^2+10x+12=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -\frac{5}{2} \\ x=-5 \pm \sqrt{13}\end{array}\right. \Leftrightarrow x=-5+\sqrt{13}$.
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x=-5+\sqrt{13}$, $x=0$.
Nhận thấy $(2x+1)-(x-2)=x+3$ nên ta nhân liên hợp vế trái của phương trình, ta được
$\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-2}=x+3 \Leftrightarrow \frac{x+3}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-2}}=x+3$
$\Leftrightarrow (x+3)(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-2}-1)=0$.
Phương trình vô nghiệm với mọi $x \geq 2$.
b) Ta thấy $x=-3$ không là nghiệm của phương trình.
Xét $x \neq -3$. Phương trình tương đương với
$\sqrt{2x^2+1}=\frac{x^2+x+3}{x+3} \Leftrightarrow \sqrt{2x^2+1}-1=\frac{x^2}{x+3}$
$\Leftrightarrow \frac{2x^2}{\sqrt{2x^2+1}+1}=\frac{x^2}{x+3} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0 \\ 2(x+3)=\sqrt{2x^2+1}+1 \ (*)\end{array}\right.$.
Phương trình $(*) \Leftrightarrow \sqrt{2x^2+1}=2x+5 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -\frac{5}{2} \\ 2x^2+1=4x^2+20x+25\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -\frac{5}{2} \\ x^2+10x+12=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -\frac{5}{2} \\ x=-5 \pm \sqrt{13}\end{array}\right. \Leftrightarrow x=-5+\sqrt{13}$.
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x=-5+\sqrt{13}$, $x=0$.